Theorem vtoclibr 2451

Description: Variable to class conversion of transitive, irreflexive relation.

Hypotheses

Ref	Expression
vtoclr.1	|- Rel R
vtoclr.2	|- ((xRy /\ yRz) -> xRz)
vtoclibr.3	|- -. xRx

Assertion

Ref	Expression
vtoclibr	|- ((ARB /\ BRC) -> ARC)

Distinct variable group(s):   x,y,z,A   x,B,y,z   x,C,y,z   x,R,y,z

Proof of Theorem vtoclibr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 2065	. . . . . . . . 9 |- (x = B -> (xRx <-> BRx))
2		breq2 2066	. . . . . . . . 9 |- (x = B -> (BRx <-> BRB))
3	1, 2	bitrd 406	. . . . . . . 8 |- (x = B -> (xRx <-> BRB))
4	3	negbid 463	. . . . . . 7 |- (x = B -> (-. xRx <-> -. BRB))
5		vtoclibr.3	. . . . . . 7 |- -. xRx
6	4, 5	vtoclg 1383	. . . . . 6 |- (B e. V -> -. BRB)
7		vtoclr.1	. . . . . . . 8 |- Rel R
8	7	brrelexi 2447	. . . . . . 7 |- (BRB -> B e. V)
9	8	con3i 90	. . . . . 6 |- (-. B e. V -> -. BRB)
10	6, 9	pm2.61i 110	. . . . 5 |- -. BRB
11		brprc 2097	. . . . 5 |- (-. C e. V -> (BRC <-> BRB))
12	10, 11	mtbiri 539	. . . 4 |- (-. C e. V -> -. BRC)
13	12	a3i 69	. . 3 |- (BRC -> C e. V)
14		vtoclr.2	. . . 4 |- ((xRy /\ yRz) -> xRz)
15	7, 14	vtoclr 2449	. . 3 |- (C e. V -> ((ARB /\ BRC) -> ARC))
16	13, 15	syl 12	. 2 |- (BRC -> ((ARB /\ BRC) -> ARC))
17	16	anabsi7 379	1 |- ((ARB /\ BRC) -> ARC)

Syntax hints:  -. wn 1   -> wi 2   /\ wa 196   = wceq 1091   e. wcel 1092  Vcvv 1348   class class class wbr 2054  Rel wrel 2415

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-br 2063  df-opab 2098  df-xp 2424  df-rel 2425

metamath.org