Theorem wefrc 2195

Description: A non-empty (possibly proper) subclass of a class well-ordered by E has a minimal element. Special case of Proposition 6.26 of [TakeutiZaring] p. 31.

Assertion

Ref	Expression
wefrc	|- ((E We A /\ (B (_ A /\ -. B = (/))) -> E.x e. B (B i^i x) = (/))

Distinct variable group(s):   x,A   x,B

Proof of Theorem wefrc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wess 2188	. . . 4 |- (B (_ A -> (E We A -> E We B))
2		ineq2 1639	. . . . . . . . . . . 12 |- (x = y -> (B i^i x) = (B i^i y))
3	2	cleq1d 1109	. . . . . . . . . . 11 |- (x = y -> ((B i^i x) = (/) <-> (B i^i y) = (/)))
4	3	rcla4ev 1403	. . . . . . . . . 10 |- ((y e. B /\ (B i^i y) = (/)) -> E.x e. B (B i^i x) = (/))
5	4	exp 291	. . . . . . . . 9 |- (y e. B -> ((B i^i y) = (/) -> E.x e. B (B i^i x) = (/)))
6	5	adantl 305	. . . . . . . 8 |- ((E We B /\ y e. B) -> ((B i^i y) = (/) -> E.x e. B (B i^i x) = (/)))
7		inss1 1657	. . . . . . . . . . . 12 |- (B i^i y) (_ B
8		visset 1350	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- y e. V
9	8	inex2 1698	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (B i^i y) e. V
10	9	epfrc 2185	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((E Fr B /\ ((B i^i y) (_ B /\ -. (B i^i y) = (/))) -> E.x e. (B i^i y)((B i^i y) i^i x) = (/))
11		wefr 2191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (E We B -> E Fr B)
12	10, 11	sylan 343	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((E We B /\ ((B i^i y) (_ B /\ -. (B i^i y) = (/))) -> E.x e. (B i^i y)((B i^i y) i^i x) = (/))
13	12	exp32 294	. . . . . . . . . . . 12 |- (E We B -> ((B i^i y) (_ B -> (-. (B i^i y) = (/) -> E.x e. (B i^i y)((B i^i y) i^i x) = (/))))
14	7, 13	mpi 44	. . . . . . . . . . 11 |- (E We B -> (-. (B i^i y) = (/) -> E.x e. (B i^i y)((B i^i y) i^i x) = (/)))
15		elin 1635	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (x e. (B i^i y) <-> (x e. B /\ x e. y))
16	15	anbi1i 368	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((x e. (B i^i y) /\ ((B i^i y) i^i x) = (/)) <-> ((x e. B /\ x e. y) /\ ((B i^i y) i^i x) = (/)))
17		anass 336	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((x e. B /\ x e. y) /\ ((B i^i y) i^i x) = (/)) <-> (x e. B /\ (x e. y /\ ((B i^i y) i^i x) = (/))))
18	16, 17	bitr 151	. . . . . . . . . . . 12 |- ((x e. (B i^i y) /\ ((B i^i y) i^i x) = (/)) <-> (x e. B /\ (x e. y /\ ((B i^i y) i^i x) = (/))))
19	18	birex2 1227	. . . . . . . . . . 11 |- (E.x e. (B i^i y)((B i^i y) i^i x) = (/) <-> E.x e. B (x e. y /\ ((B i^i y) i^i x) = (/)))
20	14, 19	syl6ib 185	. . . . . . . . . 10 |- (E We B -> (-. (B i^i y) = (/) -> E.x e. B (x e. y /\ ((B i^i y) i^i x) = (/))))
21	20	adantr 306	. . . . . . . . 9 |- ((E We B /\ y e. B) -> (-. (B i^i y) = (/) -> E.x e. B (x e. y /\ ((B i^i y) i^i x) = (/))))
22		wetrep 2194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ((E We B /\ (z e. B /\ x e. B /\ y e. B)) -> ((z e. x /\ x e. y) -> z e. y))
23	22	exp3a 292	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((E We B /\ (z e. B /\ x e. B /\ y e. B)) -> (z e. x -> (x e. y -> z e. y)))
24		df-3an 583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ((y e. B /\ z e. B /\ x e. B) <-> ((y e. B /\ z e. B) /\ x e. B))
25		3anrot 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ((y e. B /\ z e. B /\ x e. B) <-> (z e. B /\ x e. B /\ y e. B))
26	24, 25	bitr3 153	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (((y e. B /\ z e. B) /\ x e. B) <-> (z e. B /\ x e. B /\ y e. B))
27	23, 26	sylan2b 347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((E We B /\ ((y e. B /\ z e. B) /\ x e. B)) -> (z e. x -> (x e. y -> z e. y)))
28	27	exp44 302	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (E We B -> (y e. B -> (z e. B -> (x e. B -> (z e. x -> (x e. y -> z e. y))))))
29	28	imp 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((E We B /\ y e. B) -> (z e. B -> (x e. B -> (z e. x -> (x e. y -> z e. y)))))
30	29	com34 36	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((E We B /\ y e. B) -> (z e. B -> (z e. x -> (x e. B -> (x e. y -> z e. y)))))
31	30	imp3a 279	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((E We B /\ y e. B) -> ((z e. B /\ z e. x) -> (x e. B -> (x e. y -> z e. y))))
32		elin 1635	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (z e. (B i^i x) <-> (z e. B /\ z e. x))
33	31, 32	syl5ib 181	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((E We B /\ y e. B) -> (z e. (B i^i x) -> (x e. B -> (x e. y -> z e. y))))
34	33	imp4a 282	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((E We B /\ y e. B) -> (z e. (B i^i x) -> ((x e. B /\ x e. y) -> z e. y)))
35	34	com23 32	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((E We B /\ y e. B) -> ((x e. B /\ x e. y) -> (z e. (B i^i x) -> z e. y)))
36	35	r19.21adv 1262	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((E We B /\ y e. B) -> ((x e. B /\ x e. y) -> A.z e. (B i^i x)z e. y))
37		dfss3 1498	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((B i^i x) (_ y <-> A.z e. (B i^i x)z e. y)
38	36, 37	syl6ibr 186	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((E We B /\ y e. B) -> ((x e. B /\ x e. y) -> (B i^i x) (_ y))
39		dfss 1493	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((B i^i x) (_ y <-> (B i^i x) = ((B i^i x) i^i y))
40		in23 1652	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((B i^i x) i^i y) = ((B i^i y) i^i x)
41	40	cleq2i 1111	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((B i^i x) = ((B i^i x) i^i y) <-> (B i^i x) = ((B i^i y) i^i x))
42	39, 41	bitr 151	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((B i^i x) (_ y <-> (B i^i x) = ((B i^i y) i^i x))
43	42	biimp 133	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((B i^i x) (_ y -> (B i^i x) = ((B i^i y) i^i x))
44	43	cleq1d 1109	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((B i^i x) (_ y -> ((B i^i x) = (/) <-> ((B i^i y) i^i x) = (/)))
45	44	biimprd 136	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((B i^i x) (_ y -> (((B i^i y) i^i x) = (/) -> (B i^i x) = (/)))
46	38, 45	syl6 23	. . . . . . . . . . . 12 |- ((E We B /\ y e. B) -> ((x e. B /\ x e. y) -> (((B i^i y) i^i x) = (/) -> (B i^i x) = (/))))
47	46	exp3a 292	. . . . . . . . . . 11 |- ((E We B /\ y e. B) -> (x e. B -> (x e. y -> (((B i^i y) i^i x) = (/) -> (B i^i x) = (/)))))
48	47	imp4a 282	. . . . . . . . . 10 |- ((E We B /\ y e. B) -> (x e. B -> ((x e. y /\ ((B i^i y) i^i x) = (/)) -> (B i^i x) = (/))))
49	48	r19.22dv 1278	. . . . . . . . 9 |- ((E We B /\ y e. B) -> (E.x e. B (x e. y /\ ((B i^i y) i^i x) = (/)) -> E.x e. B (B i^i x) = (/)))
50	21, 49	syld 27	. . . . . . . 8 |- ((E We B /\ y e. B) -> (-. (B i^i y) = (/) -> E.x e. B (B i^i x) = (/)))
51	6, 50	pm2.61d 112	. . . . . . 7 |- ((E We B /\ y e. B) -> E.x e. B (B i^i x) = (/))
52	51	exp 291	. . . . . 6 |- (E We B -> (y e. B -> E.x e. B (B i^i x) = (/)))
53	52	19.23adv 954	. . . . 5 |- (E We B -> (E.y y e. B -> E.x e. B (B i^i x) = (/)))
54		n0 1714	. . . . 5 |- (-. B = (/) <-> E.y y e. B)
55	53, 54	syl5ib 181	. . . 4 |- (E We B -> (-. B = (/) -> E.x e. B (B i^i x) = (/)))
56	1, 55	syl6 23	. . 3 |- (B (_ A -> (E We A -> (-. B = (/) -> E.x e. B (B i^i x) = (/))))
57	56	com12 13	. 2 |- (E We A -> (B (_ A -> (-. B = (/) -> E.x e. B (B i^i x) = (/))))
58	57	imp32 281	1 |- ((E We A /\ (B (_ A /\ -. B = (/))) -> E.x e. B (B i^i x) = (/))

Syntax hints:  -. wn 1   -> wi 2   /\ wa 196   /\ w3a 581  E.wex 678   = weq 797   e. wel 803   = wceq 1091   e. wcel 1092  A.wral 1201  E.wrex 1202   i^i cin 1486   (_ wss 1487  (/)c0 1707  Ecep 2056   Fr wfr 2061   We wwe 2062

This theorem is referenced by:  tz7.5 2220

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186

metamath.org