Theorem wereu 2197

Description: A subset of a well-ordered set has a unique minimal element.

Hypothesis

Ref	Expression
wereu.1	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
wereu	|- ((R We A /\ (B (_ A /\ -. B = (/))) -> E!x e. B A.y e. B -. yRx)

Distinct variable group(s):   x,y,R   x,A,y   x,B,y

Proof of Theorem wereu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wereu.1	. . . . 5 |- B e. V
2	1	fri 2170	. . . 4 |- ((R Fr A /\ (B (_ A /\ -. B = (/))) -> E.x e. B A.y e. B -. yRx)
3		wefr 2191	. . . 4 |- (R We A -> R Fr A)
4	2, 3	sylan 343	. . 3 |- ((R We A /\ (B (_ A /\ -. B = (/))) -> E.x e. B A.y e. B -. yRx)
5		solin 2145	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((R Or B /\ (x e. B /\ z e. B)) -> (xRz \/ x = z \/ zRx))
6		weso 2192	. . . . . . . . . . . . 13 |- (R We B -> R Or B)
7	5, 6	sylan 343	. . . . . . . . . . . 12 |- ((R We B /\ (x e. B /\ z e. B)) -> (xRz \/ x = z \/ zRx))
8		df-3or 582	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((xRz \/ x = z \/ zRx) <-> ((xRz \/ x = z) \/ zRx))
9		or23 219	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((xRz \/ x = z) \/ zRx) <-> ((xRz \/ zRx) \/ x = z))
10		df-or 197	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((xRz \/ zRx) \/ x = z) <-> (-. (xRz \/ zRx) -> x = z))
11	8, 9, 10	3bitr 155	. . . . . . . . . . . 12 |- ((xRz \/ x = z \/ zRx) <-> (-. (xRz \/ zRx) -> x = z))
12	7, 11	sylib 173	. . . . . . . . . . 11 |- ((R We B /\ (x e. B /\ z e. B)) -> (-. (xRz \/ zRx) -> x = z))
13		ioran 254	. . . . . . . . . . 11 |- (-. (xRz \/ zRx) <-> (-. xRz /\ -. zRx))
14	12, 13	syl5ibr 182	. . . . . . . . . 10 |- ((R We B /\ (x e. B /\ z e. B)) -> ((-. xRz /\ -. zRx) -> x = z))
15		wess 2188	. . . . . . . . . . . 12 |- (B (_ A -> (R We A -> R We B))
16	15	imp 277	. . . . . . . . . . 11 |- ((B (_ A /\ R We A) -> R We B)
17	16	ancoms 334	. . . . . . . . . 10 |- ((R We A /\ B (_ A) -> R We B)
18	14, 17	sylan 343	. . . . . . . . 9 |- (((R We A /\ B (_ A) /\ (x e. B /\ z e. B)) -> ((-. xRz /\ -. zRx) -> x = z))
19		breq1 2065	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (y = x -> (yRz <-> xRz))
20	19	negbid 463	. . . . . . . . . . . . 13 |- (y = x -> (-. yRz <-> -. xRz))
21	20	rcla4v 1402	. . . . . . . . . . . 12 |- (A.y e. B -. yRz -> (x e. B -> -. xRz))
22		breq1 2065	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (y = z -> (yRx <-> zRx))
23	22	negbid 463	. . . . . . . . . . . . 13 |- (y = z -> (-. yRx <-> -. zRx))
24	23	rcla4v 1402	. . . . . . . . . . . 12 |- (A.y e. B -. yRx -> (z e. B -> -. zRx))
25	21, 24	im2anan9r 435	. . . . . . . . . . 11 |- ((A.y e. B -. yRx /\ A.y e. B -. yRz) -> ((x e. B /\ z e. B) -> (-. xRz /\ -. zRx)))
26	25	imp 277	. . . . . . . . . 10 |- (((A.y e. B -. yRx /\ A.y e. B -. yRz) /\ (x e. B /\ z e. B)) -> (-. xRz /\ -. zRx))
27	26	ancoms 334	. . . . . . . . 9 |- (((x e. B /\ z e. B) /\ (A.y e. B -. yRx /\ A.y e. B -. yRz)) -> (-. xRz /\ -. zRx))
28	18, 27	syl5 22	. . . . . . . 8 |- (((R We A /\ B (_ A) /\ (x e. B /\ z e. B)) -> (((x e. B /\ z e. B) /\ (A.y e. B -. yRx /\ A.y e. B -. yRz)) -> x = z))
29	28	exp4b 296	. . . . . . 7 |- ((R We A /\ B (_ A) -> ((x e. B /\ z e. B) -> ((x e. B /\ z e. B) -> ((A.y e. B -. yRx /\ A.y e. B -. yRz) -> x = z))))
30	29	pm2.43d 59	. . . . . 6 |- ((R We A /\ B (_ A) -> ((x e. B /\ z e. B) -> ((A.y e. B -. yRx /\ A.y e. B -. yRz) -> x = z)))
31	30	adantrr 312	. . . . 5 |- ((R We A /\ (B (_ A /\ -. B = (/))) -> ((x e. B /\ z e. B) -> ((A.y e. B -. yRx /\ A.y e. B -. yRz) -> x = z)))
32	31	19.21aivv 944	. . . 4 |- ((R We A /\ (B (_ A /\ -. B = (/))) -> A.xA.z((x e. B /\ z e. B) -> ((A.y e. B -. yRx /\ A.y e. B -. yRz) -> x = z)))
33		r2al 1231	. . . 4 |- (A.x e. B A.z e. B ((A.y e. B -. yRx /\ A.y e. B -. yRz) -> x = z) <-> A.xA.z((x e. B /\ z e. B) -> ((A.y e. B -. yRx /\ A.y e. B -. yRz) -> x = z)))
34	32, 33	sylibr 175	. . 3 |- ((R We A /\ (B (_ A /\ -. B = (/))) -> A.x e. B A.z e. B ((A.y e. B -. yRx /\ A.y e. B -. yRz) -> x = z))
35	4, 34	jca 236	. 2 |- ((R We A /\ (B (_ A /\ -. B = (/))) -> (E.x e. B A.y e. B -. yRx /\ A.x e. B A.z e. B ((A.y e. B -. yRx /\ A.y e. B -. yRz) -> x = z)))
36		breq2 2066	. . . . 5 |- (x = z -> (yRx <-> yRz))
37	36	negbid 463	. . . 4 |- (x = z -> (-. yRx <-> -. yRz))
38	37	biraldv 1219	. . 3 |- (x = z -> (A.y e. B -. yRx <-> A.y e. B -. yRz))
39	38	reu4 1340	. 2 |- (E!x e. B A.y e. B -. yRx <-> (E.x e. B A.y e. B -. yRx /\ A.x e. B A.z e. B ((A.y e. B -. yRx /\ A.y e. B -. yRz) -> x = z)))
40	35, 39	sylibr 175	1 |- ((R We A /\ (B (_ A /\ -. B = (/))) -> E!x e. B A.y e. B -. yRx)

Syntax hints:  -. wn 1   -> wi 2   \/ wo 195   /\ wa 196   \/ w3o 580  A.wal 672   = weq 797   = wceq 1091   e. wcel 1092  A.wral 1201  E.wrex 1202  E!wreu 1203  Vcvv 1348   (_ wss 1487  (/)c0 1707   class class class wbr 2054   Or wor 2059   Fr wfr 2061   We wwe 2062

This theorem is referenced by:  zornlem1 3603  htalem 3618

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-br 2063  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186

metamath.org