Theorem xp0r 2474

Description: The cross product with the empty set is empty. Part of Theorem 3.13(ii) of [Monk1] p. 37.

Assertion

Ref	Expression
xp0r	|- ((/) X. A) = (/)

Proof of Theorem xp0r

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxp 2442	. . 3 |- (z e. ((/) X. A) <-> E.xE.y(z = <.x, y>. /\ (x e. (/) /\ y e. A)))
2		noel 1711	. . . . . . 7 |- -. x e. (/)
3		pm3.26 256	. . . . . . . 8 |- ((x e. (/) /\ y e. A) -> x e. (/))
4	3	adantl 305	. . . . . . 7 |- ((z = <.x, y>. /\ (x e. (/) /\ y e. A)) -> x e. (/))
5	2, 4	mto 93	. . . . . 6 |- -. (z = <.x, y>. /\ (x e. (/) /\ y e. A))
6	5	nex 779	. . . . 5 |- -. E.y(z = <.x, y>. /\ (x e. (/) /\ y e. A))
7	6	nex 779	. . . 4 |- -. E.xE.y(z = <.x, y>. /\ (x e. (/) /\ y e. A))
8		noel 1711	. . . 4 |- -. z e. (/)
9		pm5.21 502	. . . 4 |- ((-. E.xE.y(z = <.x, y>. /\ (x e. (/) /\ y e. A)) /\ -. z e. (/)) -> (E.xE.y(z = <.x, y>. /\ (x e. (/) /\ y e. A)) <-> z e. (/)))
10	7, 8, 9	mp2an 520	. . 3 |- (E.xE.y(z = <.x, y>. /\ (x e. (/) /\ y e. A)) <-> z e. (/))
11	1, 10	bitr 151	. 2 |- (z e. ((/) X. A) <-> z e. (/))
12	11	cleqri 1101	1 |- ((/) X. A) = (/)

Syntax hints:  -. wn 1   <-> wb 127   /\ wa 196  E.wex 678   = wceq 1091   e. wcel 1092  (/)c0 1707  <.cop 1810   X. cxp 2408

This theorem is referenced by:  dmxpid 2553  res0 2578  xp0 2652  xpdisj1 2653  fconst 2774  fodomb 3615  cda0en 3720  cdaassen 3725

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-opab 2098  df-xp 2424

metamath.org