Theorem xp2cda 3723

Description: Two times a cardinal number. Exercise 4.56(g) of [Mendelson] p. 258.

Hypothesis

Ref	Expression
cda0en.1	|- A e. V

Assertion

Ref	Expression
xp2cda	|- (A X. 2o) = (A +c A)

Proof of Theorem xp2cda

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpundi 2461	. 2 |- (A X. ({(/)} u. {1o})) = ((A X. {(/)}) u. (A X. {1o}))
2		df-pr 1812	. . . 4 |- {(/), {(/)}} = ({(/)} u. {{(/)}})
3		df2o2 3112	. . . 4 |- 2o = {(/), {(/)}}
4		df1o2 3111	. . . . . 6 |- 1o = {(/)}
5	4	sneqi 1817	. . . . 5 |- {1o} = {{(/)}}
6	5	uneq2i 1608	. . . 4 |- ({(/)} u. {1o}) = ({(/)} u. {{(/)}})
7	2, 3, 6	3eqtr4 1126	. . 3 |- 2o = ({(/)} u. {1o})
8		xpeq2 2441	. . 3 |- (2o = ({(/)} u. {1o}) -> (A X. 2o) = (A X. ({(/)} u. {1o})))
9	7, 8	ax-mp 6	. 2 |- (A X. 2o) = (A X. ({(/)} u. {1o}))
10		cda0en.1	. . 3 |- A e. V
11	10, 10	cdaval 3717	. 2 |- (A +c A) = ((A X. {(/)}) u. (A X. {1o}))
12	1, 9, 11	3eqtr4 1126	1 |- (A X. 2o) = (A +c A)

Syntax hints:   = wceq 1091   e. wcel 1092  Vcvv 1348   u. cun 1485  (/)c0 1707  {csn 1808  {cpr 1809   X. cxp 2408  (class class class)co 3001  1oc1o 3099  2oc2o 3100   +c ccda 3714

This theorem is referenced by:  infunabs 4946  infcdaabs 4947

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-opab 2098  df-id 2125  df-suc 2205  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fv 2438  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-2o 3105  df-cda 3715

metamath.org