Theorem xpcomen 3343

Description: Commutative law for equinumerosity of cross product. Proposition 4.22(d) of [Mendelson] p. 254.

Hypotheses

Ref	Expression
xpcomen.1	|- A e. V
xpcomen.2	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
xpcomen	|- (A X. B) ~~ (B X. A)

Proof of Theorem xpcomen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpcomen.1	. . 3 |- A e. V
2		xpcomen.2	. . 3 |- B e. V
3	1, 2	xpex 2488	. 2 |- (A X. B) e. V
4		snex 1859	. . . . 5 |- {x} e. V
5	4	cnvex 2670	. . . 4 |- `'{x} e. V
6	5	uniex 1947	. . 3 |- U.`'{x} e. V
7	6	a1i 7	. 2 |- (x e. (A X. B) -> U.`'{x} e. V)
8		snex 1859	. . . . 5 |- {y} e. V
9	8	cnvex 2670	. . . 4 |- `'{y} e. V
10	9	uniex 1947	. . 3 |- U.`'{y} e. V
11	10	a1i 7	. 2 |- (y e. (B X. A) -> U.`'{y} e. V)
12		sneq 1816	. . . . . . . . . . . 12 |- (x = <.z, w>. -> {x} = {<.z, w>.})
13		cnveq 2513	. . . . . . . . . . . 12 |- ({x} = {<.z, w>.} -> `'{x} = `'{<.z, w>.})
14	12, 13	syl 12	. . . . . . . . . . 11 |- (x = <.z, w>. -> `'{x} = `'{<.z, w>.})
15		visset 1350	. . . . . . . . . . . 12 |- z e. V
16		visset 1350	. . . . . . . . . . . 12 |- w e. V
17	15, 16	cnvsn 2636	. . . . . . . . . . 11 |- `'{<.z, w>.} = {<.w, z>.}
18	14, 17	syl6eq 1140	. . . . . . . . . 10 |- (x = <.z, w>. -> `'{x} = {<.w, z>.})
19	18	unieqd 1929	. . . . . . . . 9 |- (x = <.z, w>. -> U.`'{x} = U.{<.w, z>.})
20		opex 1893	. . . . . . . . . 10 |- <.w, z>. e. V
21	20	unisn 1932	. . . . . . . . 9 |- U.{<.w, z>.} = <.w, z>.
22	19, 21	syl6req 1141	. . . . . . . 8 |- (x = <.z, w>. -> <.w, z>. = U.`'{x})
23		sneq 1816	. . . . . . . . . . . 12 |- (y = <.w, z>. -> {y} = {<.w, z>.})
24		cnveq 2513	. . . . . . . . . . . 12 |- ({y} = {<.w, z>.} -> `'{y} = `'{<.w, z>.})
25	23, 24	syl 12	. . . . . . . . . . 11 |- (y = <.w, z>. -> `'{y} = `'{<.w, z>.})
26	16, 15	cnvsn 2636	. . . . . . . . . . 11 |- `'{<.w, z>.} = {<.z, w>.}
27	25, 26	syl6eq 1140	. . . . . . . . . 10 |- (y = <.w, z>. -> `'{y} = {<.z, w>.})
28	27	unieqd 1929	. . . . . . . . 9 |- (y = <.w, z>. -> U.`'{y} = U.{<.z, w>.})
29		opex 1893	. . . . . . . . . 10 |- <.z, w>. e. V
30	29	unisn 1932	. . . . . . . . 9 |- U.{<.z, w>.} = <.z, w>.
31	28, 30	syl6req 1141	. . . . . . . 8 |- (y = <.w, z>. -> <.z, w>. = U.`'{y})
32	22, 31	cleq2tr 1148	. . . . . . 7 |- ((x = <.z, w>. /\ y = U.`'{x}) <-> (y = <.w, z>. /\ x = U.`'{y}))
33		ancom 333	. . . . . . 7 |- ((z e. A /\ w e. B) <-> (w e. B /\ z e. A))
34	32, 33	anbi12i 369	. . . . . 6 |- (((x = <.z, w>. /\ y = U.`'{x}) /\ (z e. A /\ w e. B)) <-> ((y = <.w, z>. /\ x = U.`'{y}) /\ (w e. B /\ z e. A)))
35		an23 371	. . . . . 6 |- (((x = <.z, w>. /\ (z e. A /\ w e. B)) /\ y = U.`'{x}) <-> ((x = <.z, w>. /\ y = U.`'{x}) /\ (z e. A /\ w e. B)))
36		an23 371	. . . . . 6 |- (((y = <.w, z>. /\ (w e. B /\ z e. A)) /\ x = U.`'{y}) <-> ((y = <.w, z>. /\ x = U.`'{y}) /\ (w e. B /\ z e. A)))
37	34, 35, 36	3bitr4 158	. . . . 5 |- (((x = <.z, w>. /\ (z e. A /\ w e. B)) /\ y = U.`'{x}) <-> ((y = <.w, z>. /\ (w e. B /\ z e. A)) /\ x = U.`'{y}))
38	37	bi2ex 734	. . . 4 |- (E.zE.w((x = <.z, w>. /\ (z e. A /\ w e. B)) /\ y = U.`'{x}) <-> E.zE.w((y = <.w, z>. /\ (w e. B /\ z e. A)) /\ x = U.`'{y}))
39		19.41vv 964	. . . 4 |- (E.zE.w((x = <.z, w>. /\ (z e. A /\ w e. B)) /\ y = U.`'{x}) <-> (E.zE.w(x = <.z, w>. /\ (z e. A /\ w e. B)) /\ y = U.`'{x}))
40		19.41vv 964	. . . 4 |- (E.zE.w((y = <.w, z>. /\ (w e. B /\ z e. A)) /\ x = U.`'{y}) <-> (E.zE.w(y = <.w, z>. /\ (w e. B /\ z e. A)) /\ x = U.`'{y}))
41	38, 39, 40	3bitr3 156	. . 3 |- ((E.zE.w(x = <.z, w>. /\ (z e. A /\ w e. B)) /\ y = U.`'{x}) <-> (E.zE.w(y = <.w, z>. /\ (w e. B /\ z e. A)) /\ x = U.`'{y}))
42		elxp 2442	. . . 4 |- (x e. (A X. B) <-> E.zE.w(x = <.z, w>. /\ (z e. A /\ w e. B)))
43	42	anbi1i 368	. . 3 |- ((x e. (A X. B) /\ y = U.`'{x}) <-> (E.zE.w(x = <.z, w>. /\ (z e. A /\ w e. B)) /\ y = U.`'{x}))
44		elxp 2442	. . . . 5 |- (y e. (B X. A) <-> E.wE.z(y = <.w, z>. /\ (w e. B /\ z e. A)))
45		excom 728	. . . . 5 |- (E.wE.z(y = <.w, z>. /\ (w e. B /\ z e. A)) <-> E.zE.w(y = <.w, z>. /\ (w e. B /\ z e. A)))
46	44, 45	bitr 151	. . . 4 |- (y e. (B X. A) <-> E.zE.w(y = <.w, z>. /\ (w e. B /\ z e. A)))
47	46	anbi1i 368	. . 3 |- ((y e. (B X. A) /\ x = U.`'{y}) <-> (E.zE.w(y = <.w, z>. /\ (w e. B /\ z e. A)) /\ x = U.`'{y}))
48	41, 43, 47	3bitr4 158	. 2 |- ((x e. (A X. B) /\ y = U.`'{x}) <-> (y e. (B X. A) /\ x = U.`'{y}))
49	3, 7, 11, 48	en2 3305	1 |- (A X. B) ~~ (B X. A)

Syntax hints:   /\ wa 196  E.wex 678   = wceq 1091   e. wcel 1092  Vcvv 1348  {csn 1808  <.cop 1810  U.cuni 1919   class class class wbr 2054   X. cxp 2408  `'ccnv 2409   ~~ cen 3271

This theorem is referenced by:  xpdom1 3346  xpen 3383  cdaassen 3725  infmap2 4953

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-opab 2098  df-id 2125  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-en 3274

metamath.org