Theorem xpmapenlem1 3391

Description: Lemma for xpmapen 3396.

Hypotheses

Ref	Expression
xpmapen.1	|- A e. V
xpmapen.2	|- B e. V
xpmapen.3	|- C e. V
xpmapenlem.4	|- D = {<.z, w>. | (z e. C /\ w = U.dom {(x` z)})}
xpmapenlem.5	|- R = {<.z, w>. | (z e. C /\ w = U.ran {(x` z)})}
xpmapenlem.6	|- S = {<.z, w>. | (z e. C /\ w = <.(U.dom {y}` z), (U.ran {y}` z)>.)}

Assertion

Ref	Expression
xpmapenlem1	|- ((y = <.D, R>. -> A.z y = <.D, R>.) /\ (y = <.D, R>. -> A.w y = <.D, R>.))

Distinct variable group(s):   x,y,z,w,A   x,B,y,z,w   x,C,y,z,w   y,D   y,R   x,S

Proof of Theorem xpmapenlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hbopab1 2112	. . . . 5 |- (y e. {<.z, w>. | (z e. C /\ w = U.dom {(x` z)})} -> A.z y e. {<.z, w>. | (z e. C /\ w = U.dom {(x` z)})})
2		xpmapenlem.4	. . . . . 6 |- D = {<.z, w>. | (z e. C /\ w = U.dom {(x` z)})}
3	2	eleq2i 1153	. . . . 5 |- (y e. D <-> y e. {<.z, w>. | (z e. C /\ w = U.dom {(x` z)})})
4	3	bial 695	. . . . 5 |- (A.z y e. D <-> A.z y e. {<.z, w>. | (z e. C /\ w = U.dom {(x` z)})})
5	1, 3, 4	3imtr4 192	. . . 4 |- (y e. D -> A.z y e. D)
6		hbopab1 2112	. . . . 5 |- (y e. {<.z, w>. | (z e. C /\ w = U.ran {(x` z)})} -> A.z y e. {<.z, w>. | (z e. C /\ w = U.ran {(x` z)})})
7		xpmapenlem.5	. . . . . 6 |- R = {<.z, w>. | (z e. C /\ w = U.ran {(x` z)})}
8	7	eleq2i 1153	. . . . 5 |- (y e. R <-> y e. {<.z, w>. | (z e. C /\ w = U.ran {(x` z)})})
9	8	bial 695	. . . . 5 |- (A.z y e. R <-> A.z y e. {<.z, w>. | (z e. C /\ w = U.ran {(x` z)})})
10	6, 8, 9	3imtr4 192	. . . 4 |- (y e. R -> A.z y e. R)
11	5, 10	hbop 1879	. . 3 |- (y e. <.D, R>. -> A.z y e. <.D, R>.)
12	11	hbeleq 1173	. 2 |- (y = <.D, R>. -> A.z y = <.D, R>.)
13		hbopab2 2113	. . . . 5 |- (y e. {<.z, w>. | (z e. C /\ w = U.dom {(x` z)})} -> A.w y e. {<.z, w>. | (z e. C /\ w = U.dom {(x` z)})})
14	3	bial 695	. . . . 5 |- (A.w y e. D <-> A.w y e. {<.z, w>. | (z e. C /\ w = U.dom {(x` z)})})
15	13, 3, 14	3imtr4 192	. . . 4 |- (y e. D -> A.w y e. D)
16		hbopab2 2113	. . . . 5 |- (y e. {<.z, w>. | (z e. C /\ w = U.ran {(x` z)})} -> A.w y e. {<.z, w>. | (z e. C /\ w = U.ran {(x` z)})})
17	8	bial 695	. . . . 5 |- (A.w y e. R <-> A.w y e. {<.z, w>. | (z e. C /\ w = U.ran {(x` z)})})
18	16, 8, 17	3imtr4 192	. . . 4 |- (y e. R -> A.w y e. R)
19	15, 18	hbop 1879	. . 3 |- (y e. <.D, R>. -> A.w y e. <.D, R>.)
20	19	hbeleq 1173	. 2 |- (y = <.D, R>. -> A.w y = <.D, R>.)
21	12, 20	pm3.2i 234	1 |- ((y = <.D, R>. -> A.z y = <.D, R>.) /\ (y = <.D, R>. -> A.w y = <.D, R>.))

Syntax hints:   -> wi 2   /\ wa 196  A.wal 672   = wceq 1091   e. wcel 1092  Vcvv 1348  {csn 1808  <.cop 1810  U.cuni 1919  {copab 2055  dom cdm 2410  ran crn 2411  ` cfv 2422

This theorem is referenced by:  xpmapenlem3 3393  xpmapenlem5 3395

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-v 1349  df-un 1490  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-opab 2098

metamath.org