Theorem xpmapenlem2 3392

Description: Lemma for xpmapen 3396.

Hypotheses

Ref	Expression
xpmapen.1	|- A e. V
xpmapen.2	|- B e. V
xpmapen.3	|- C e. V
xpmapenlem.4	|- D = {<.z, w>. | (z e. C /\ w = U.dom {(x` z)})}
xpmapenlem.5	|- R = {<.z, w>. | (z e. C /\ w = U.ran {(x` z)})}
xpmapenlem.6	|- S = {<.z, w>. | (z e. C /\ w = <.(U.dom {y}` z), (U.ran {y}` z)>.)}

Assertion

Ref	Expression
xpmapenlem2	|- ((y = <.D, R>. /\ z e. C) -> ((U.dom {y}` z) = U.dom {(x` z)} /\ (U.ran {y}` z) = U.ran {(x` z)}))

Distinct variable group(s):   x,y,z,w,A   x,B,y,z,w   x,C,y,z,w   y,D   y,R   x,S

Proof of Theorem xpmapenlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sneq 1816	. . . . . . . 8 |- (y = <.D, R>. -> {y} = {<.D, R>.})
2		xpmapenlem.4	. . . . . . . . . 10 |- D = {<.z, w>. | (z e. C /\ w = U.dom {(x` z)})}
3		opeq1 1876	. . . . . . . . . 10 |- (D = {<.z, w>. | (z e. C /\ w = U.dom {(x` z)})} -> <.D, R>. = <.{<.z, w>. | (z e. C /\ w = U.dom {(x` z)})}, R>.)
4	2, 3	ax-mp 6	. . . . . . . . 9 |- <.D, R>. = <.{<.z, w>. | (z e. C /\ w = U.dom {(x` z)})}, R>.
5	4	sneqi 1817	. . . . . . . 8 |- {<.D, R>.} = {<.{<.z, w>. | (z e. C /\ w = U.dom {(x` z)})}, R>.}
6	1, 5	syl6eq 1140	. . . . . . 7 |- (y = <.D, R>. -> {y} = {<.{<.z, w>. | (z e. C /\ w = U.dom {(x` z)})}, R>.})
7	6	dmeqd 2533	. . . . . 6 |- (y = <.D, R>. -> dom {y} = dom {<.{<.z, w>. | (z e. C /\ w = U.dom {(x` z)})}, R>.})
8	7	unieqd 1929	. . . . 5 |- (y = <.D, R>. -> U.dom {y} = U.dom {<.{<.z, w>. | (z e. C /\ w = U.dom {(x` z)})}, R>.})
9		xpmapen.3	. . . . . . 7 |- C e. V
10		moeq 1431	. . . . . . . 8 |- E*w w = U.dom {(x` z)}
11	10	a1i 7	. . . . . . 7 |- (z e. C -> E*w w = U.dom {(x` z)})
12	9, 11	funopabex 2742	. . . . . 6 |- {<.z, w>. | (z e. C /\ w = U.dom {(x` z)})} e. V
13	12	op1sta 2635	. . . . 5 |- U.dom {<.{<.z, w>. | (z e. C /\ w = U.dom {(x` z)})}, R>.} = {<.z, w>. | (z e. C /\ w = U.dom {(x` z)})}
14	8, 13	syl6eq 1140	. . . 4 |- (y = <.D, R>. -> U.dom {y} = {<.z, w>. | (z e. C /\ w = U.dom {(x` z)})})
15	14	fveq1d 2834	. . 3 |- (y = <.D, R>. -> (U.dom {y}` z) = ({<.z, w>. | (z e. C /\ w = U.dom {(x` z)})}` z))
16		snex 1859	. . . . . 6 |- {(x` z)} e. V
17		dmexg 2551	. . . . . 6 |- ({(x` z)} e. V -> dom {(x` z)} e. V)
18	16, 17	ax-mp 6	. . . . 5 |- dom {(x` z)} e. V
19	18	uniex 1947	. . . 4 |- U.dom {(x` z)} e. V
20		fvopab2 2878	. . . 4 |- ((z e. C /\ U.dom {(x` z)} e. V) -> ({<.z, w>. | (z e. C /\ w = U.dom {(x` z)})}` z) = U.dom {(x` z)})
21	19, 20	mpan2 519	. . 3 |- (z e. C -> ({<.z, w>. | (z e. C /\ w = U.dom {(x` z)})}` z) = U.dom {(x` z)})
22	15, 21	sylan9eq 1144	. 2 |- ((y = <.D, R>. /\ z e. C) -> (U.dom {y}` z) = U.dom {(x` z)})
23		xpmapenlem.5	. . . . . . . . . 10 |- R = {<.z, w>. | (z e. C /\ w = U.ran {(x` z)})}
24		opeq2 1877	. . . . . . . . . 10 |- (R = {<.z, w>. | (z e. C /\ w = U.ran {(x` z)})} -> <.D, R>. = <.D, {<.z, w>. | (z e. C /\ w = U.ran {(x` z)})}>.)
25	23, 24	ax-mp 6	. . . . . . . . 9 |- <.D, R>. = <.D, {<.z, w>. | (z e. C /\ w = U.ran {(x` z)})}>.
26	25	sneqi 1817	. . . . . . . 8 |- {<.D, R>.} = {<.D, {<.z, w>. | (z e. C /\ w = U.ran {(x` z)})}>.}
27	1, 26	syl6eq 1140	. . . . . . 7 |- (y = <.D, R>. -> {y} = {<.D, {<.z, w>. | (z e. C /\ w = U.ran {(x` z)})}>.})
28	27	rneqd 2557	. . . . . 6 |- (y = <.D, R>. -> ran {y} = ran {<.D, {<.z, w>. | (z e. C /\ w = U.ran {(x` z)})}>.})
29	28	unieqd 1929	. . . . 5 |- (y = <.D, R>. -> U.ran {y} = U.ran {<.D, {<.z, w>. | (z e. C /\ w = U.ran {(x` z)})}>.})
30	2, 12	eqeltr 1159	. . . . . 6 |- D e. V
31		moeq 1431	. . . . . . . 8 |- E*w w = U.ran {(x` z)}
32	31	a1i 7	. . . . . . 7 |- (z e. C -> E*w w = U.ran {(x` z)})
33	9, 32	funopabex 2742	. . . . . 6 |- {<.z, w>. | (z e. C /\ w = U.ran {(x` z)})} e. V
34	30, 33	op2nda 2639	. . . . 5 |- U.ran {<.D, {<.z, w>. | (z e. C /\ w = U.ran {(x` z)})}>.} = {<.z, w>. | (z e. C /\ w = U.ran {(x` z)})}
35	29, 34	syl6eq 1140	. . . 4 |- (y = <.D, R>. -> U.ran {y} = {<.z, w>. | (z e. C /\ w = U.ran {(x` z)})})
36	35	fveq1d 2834	. . 3 |- (y = <.D, R>. -> (U.ran {y}` z) = ({<.z, w>. | (z e. C /\ w = U.ran {(x` z)})}` z))
37		rnexg 2569	. . . . . 6 |- ({(x` z)} e. V -> ran {(x` z)} e. V)
38	16, 37	ax-mp 6	. . . . 5 |- ran {(x` z)} e. V
39	38	uniex 1947	. . . 4 |- U.ran {(x` z)} e. V
40		fvopab2 2878	. . . 4 |- ((z e. C /\ U.ran {(x` z)} e. V) -> ({<.z, w>. | (z e. C /\ w = U.ran {(x` z)})}` z) = U.ran {(x` z)})
41	39, 40	mpan2 519	. . 3 |- (z e. C -> ({<.z, w>. | (z e. C /\ w = U.ran {(x` z)})}` z) = U.ran {(x` z)})
42	36, 41	sylan9eq 1144	. 2 |- ((y = <.D, R>. /\ z e. C) -> (U.ran {y}` z) = U.ran {(x` z)})
43	22, 42	jca 236	1 |- ((y = <.D, R>. /\ z e. C) -> ((U.dom {y}` z) = U.dom {(x` z)} /\ (U.ran {y}` z) = U.ran {(x` z)}))

Syntax hints:   -> wi 2   /\ wa 196  E*wmo 1008   = wceq 1091   e. wcel 1092  Vcvv 1348  {csn 1808  <.cop 1810  U.cuni 1919  {copab 2055  dom cdm 2410  ran crn 2411  ` cfv 2422

This theorem is referenced by:  xpmapenlem3 3393  xpmapenlem5 3395

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-opab 2098  df-id 2125  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-fv 2438

metamath.org