Theorem zbtwnre 4619

Description: There is a unique integer between a real number and the number plus one. Exercise 5 of [Apostol] p. 28.

Assertion

Ref	Expression
zbtwnre	|- (A e. RR -> E!x e. ZZ (A <_ x /\ x < (A + 1)))

Distinct variable group(s):   x,A

Proof of Theorem zbtwnre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zmin 4617	. 2 |- (A e. RR -> E!x e. ZZ (A <_ x /\ A.y e. ZZ (A <_ y -> x <_ y)))
2		ltletrt 4290	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((x - 1) e. RR /\ A e. RR /\ y e. RR) -> (((x - 1) < A /\ A <_ y) -> (x - 1) < y))
3		zret 4567	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (x e. ZZ -> x e. RR)
4		ax1re 4064	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1 e. RR
5		resubclt 4173	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((x e. RR /\ 1 e. RR) -> (x - 1) e. RR)
6	4, 5	mpan2 519	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (x e. RR -> (x - 1) e. RR)
7	3, 6	syl 12	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (x e. ZZ -> (x - 1) e. RR)
8	2, 7	syl3an1 619	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((x e. ZZ /\ A e. RR /\ y e. RR) -> (((x - 1) < A /\ A <_ y) -> (x - 1) < y))
9	8	3expa 612	. . . . . . . . . . . 12 |- (((x e. ZZ /\ A e. RR) /\ y e. RR) -> (((x - 1) < A /\ A <_ y) -> (x - 1) < y))
10		zret 4567	. . . . . . . . . . . 12 |- (y e. ZZ -> y e. RR)
11	9, 10	sylan2 346	. . . . . . . . . . 11 |- (((x e. ZZ /\ A e. RR) /\ y e. ZZ) -> (((x - 1) < A /\ A <_ y) -> (x - 1) < y))
12		zlem1ltt 4599	. . . . . . . . . . . 12 |- ((x e. ZZ /\ y e. ZZ) -> (x <_ y <-> (x - 1) < y))
13	12	adantlr 310	. . . . . . . . . . 11 |- (((x e. ZZ /\ A e. RR) /\ y e. ZZ) -> (x <_ y <-> (x - 1) < y))
14	11, 13	sylibrd 179	. . . . . . . . . 10 |- (((x e. ZZ /\ A e. RR) /\ y e. ZZ) -> (((x - 1) < A /\ A <_ y) -> x <_ y))
15	14	exp4b 296	. . . . . . . . 9 |- ((x e. ZZ /\ A e. RR) -> (y e. ZZ -> ((x - 1) < A -> (A <_ y -> x <_ y))))
16	15	com23 32	. . . . . . . 8 |- ((x e. ZZ /\ A e. RR) -> ((x - 1) < A -> (y e. ZZ -> (A <_ y -> x <_ y))))
17	16	r19.21adv 1262	. . . . . . 7 |- ((x e. ZZ /\ A e. RR) -> ((x - 1) < A -> A.y e. ZZ (A <_ y -> x <_ y)))
18		ltnrt 4292	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((x - 1) e. RR -> -. (x - 1) < (x - 1))
19	3, 6, 18	3syl 21	. . . . . . . . . . . . 13 |- (x e. ZZ -> -. (x - 1) < (x - 1))
20		1z 4584	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1 e. ZZ
21		zsubclt 4591	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((x e. ZZ /\ 1 e. ZZ) -> (x - 1) e. ZZ)
22	20, 21	mpan2 519	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (x e. ZZ -> (x - 1) e. ZZ)
23		zlem1ltt 4599	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((x e. ZZ /\ (x - 1) e. ZZ) -> (x <_ (x - 1) <-> (x - 1) < (x - 1)))
24	22, 23	mpdan 527	. . . . . . . . . . . . 13 |- (x e. ZZ -> (x <_ (x - 1) <-> (x - 1) < (x - 1)))
25	19, 24	mtbird 537	. . . . . . . . . . . 12 |- (x e. ZZ -> -. x <_ (x - 1))
26	25	adantl 305	. . . . . . . . . . 11 |- (((A e. RR /\ A.y e. ZZ (A <_ y -> x <_ y)) /\ x e. ZZ) -> -. x <_ (x - 1))
27		leltt 4278	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((A e. RR /\ (x - 1) e. RR) -> (A <_ (x - 1) <-> -. (x - 1) < A))
28	27, 7	sylan2 346	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((A e. RR /\ x e. ZZ) -> (A <_ (x - 1) <-> -. (x - 1) < A))
29	28	adantlr 310	. . . . . . . . . . . 12 |- (((A e. RR /\ A.y e. ZZ (A <_ y -> x <_ y)) /\ x e. ZZ) -> (A <_ (x - 1) <-> -. (x - 1) < A))
30		breq2 2066	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (y = (x - 1) -> (A <_ y <-> A <_ (x - 1)))
31		breq2 2066	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (y = (x - 1) -> (x <_ y <-> x <_ (x - 1)))
32	30, 31	imbi12d 474	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (y = (x - 1) -> ((A <_ y -> x <_ y) <-> (A <_ (x - 1) -> x <_ (x - 1))))
33	32	rcla4v 1402	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (A.y e. ZZ (A <_ y -> x <_ y) -> ((x - 1) e. ZZ -> (A <_ (x - 1) -> x <_ (x - 1))))
34	33, 22	syl5 22	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (A.y e. ZZ (A <_ y -> x <_ y) -> (x e. ZZ -> (A <_ (x - 1) -> x <_ (x - 1))))
35	34	imp 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((A.y e. ZZ (A <_ y -> x <_ y) /\ x e. ZZ) -> (A <_ (x - 1) -> x <_ (x - 1)))
36	35	adantll 309	. . . . . . . . . . . 12 |- (((A e. RR /\ A.y e. ZZ (A <_ y -> x <_ y)) /\ x e. ZZ) -> (A <_ (x - 1) -> x <_ (x - 1)))
37	29, 36	sylbird 180	. . . . . . . . . . 11 |- (((A e. RR /\ A.y e. ZZ (A <_ y -> x <_ y)) /\ x e. ZZ) -> (-. (x - 1) < A -> x <_ (x - 1)))
38	26, 37	mt3d 101	. . . . . . . . . 10 |- (((A e. RR /\ A.y e. ZZ (A <_ y -> x <_ y)) /\ x e. ZZ) -> (x - 1) < A)
39	38	exp31 293	. . . . . . . . 9 |- (A e. RR -> (A.y e. ZZ (A <_ y -> x <_ y) -> (x e. ZZ -> (x - 1) < A)))
40	39	com3r 35	. . . . . . . 8 |- (x e. ZZ -> (A e. RR -> (A.y e. ZZ (A <_ y -> x <_ y) -> (x - 1) < A)))
41	40	imp 277	. . . . . . 7 |- ((x e. ZZ /\ A e. RR) -> (A.y e. ZZ (A <_ y -> x <_ y) -> (x - 1) < A))
42	17, 41	impbid 397	. . . . . 6 |- ((x e. ZZ /\ A e. RR) -> ((x - 1) < A <-> A.y e. ZZ (A <_ y -> x <_ y)))
43		ltsubaddt 4353	. . . . . . . 8 |- ((x e. RR /\ 1 e. RR /\ A e. RR) -> ((x - 1) < A <-> x < (A + 1)))
44	4, 43	mp3an2 640	. . . . . . 7 |- ((x e. RR /\ A e. RR) -> ((x - 1) < A <-> x < (A + 1)))
45	44, 3	sylan 343	. . . . . 6 |- ((x e. ZZ /\ A e. RR) -> ((x - 1) < A <-> x < (A + 1)))
46	42, 45	bitr3d 408	. . . . 5 |- ((x e. ZZ /\ A e. RR) -> (A.y e. ZZ (A <_ y -> x <_ y) <-> x < (A + 1)))
47	46	ancoms 334	. . . 4 |- ((A e. RR /\ x e. ZZ) -> (A.y e. ZZ (A <_ y -> x <_ y) <-> x < (A + 1)))
48	47	anbi2d 468	. . 3 |- ((A e. RR /\ x e. ZZ) -> ((A <_ x /\ A.y e. ZZ (A <_ y -> x <_ y)) <-> (A <_ x /\ x < (A + 1))))
49	48	bireudva 1317	. 2 |- (A e. RR -> (E!x e. ZZ (A <_ x /\ A.y e. ZZ (A <_ y -> x <_ y)) <-> E!x e. ZZ (A <_ x /\ x < (A + 1))))
50	1, 49	mpbid 170	1 |- (A e. RR -> E!x e. ZZ (A <_ x /\ x < (A + 1)))

Syntax hints:  -. wn 1   -> wi 2   <-> wb 127   /\ wa 196   = wceq 1091   e. wcel 1092  A.wral 1201  E!wreu 1203   class class class wbr 2054  (class class class)co 3001  RRcr 4027  1c1 4029   + caddc 4031   < clt 4033   - cmin 4089   <_ cle 4092  ZZcz 4095

This theorem is referenced by:  rebtwnz 4620  qbtwnre 4650

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-le 4277  df-n 4423  df-n0 4535  df-z 4564

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