Theorem zfcndac 3765

Description: Axiom of Choice, reproved from conditionless ZFC axioms.

Assertion

Ref	Expression
zfcndac	|- E.yA.zA.w((z e. w /\ w e. x) -> E.vA.u(E.t((u e. w /\ w e. t) /\ (u e. t /\ t e. y)) <-> u = v))

Distinct variable group(s):   x,y,z,w,v,u,t

Proof of Theorem zfcndac

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axacnd 3758	. . 3 |- E.yA.zA.w(A.y(z e. w /\ w e. x) -> E.xA.z(E.x((z e. w /\ w e. x) /\ (z e. x /\ x e. y)) <-> z = x))
2		ax-17 925	. . . . . . 7 |- ((z e. w /\ w e. x) -> A.y(z e. w /\ w e. x))
3	2	19.3r 714	. . . . . 6 |- ((z e. w /\ w e. x) <-> A.y(z e. w /\ w e. x))
4	3	imbi1i 161	. . . . 5 |- (((z e. w /\ w e. x) -> E.xA.z(E.x((z e. w /\ w e. x) /\ (z e. x /\ x e. y)) <-> z = x)) <-> (A.y(z e. w /\ w e. x) -> E.xA.z(E.x((z e. w /\ w e. x) /\ (z e. x /\ x e. y)) <-> z = x)))
5	4	bi2al 696	. . . 4 |- (A.zA.w((z e. w /\ w e. x) -> E.xA.z(E.x((z e. w /\ w e. x) /\ (z e. x /\ x e. y)) <-> z = x)) <-> A.zA.w(A.y(z e. w /\ w e. x) -> E.xA.z(E.x((z e. w /\ w e. x) /\ (z e. x /\ x e. y)) <-> z = x)))
6	5	biex 733	. . 3 |- (E.yA.zA.w((z e. w /\ w e. x) -> E.xA.z(E.x((z e. w /\ w e. x) /\ (z e. x /\ x e. y)) <-> z = x)) <-> E.yA.zA.w(A.y(z e. w /\ w e. x) -> E.xA.z(E.x((z e. w /\ w e. x) /\ (z e. x /\ x e. y)) <-> z = x)))
7	1, 6	mpbir 165	. 2 |- E.yA.zA.w((z e. w /\ w e. x) -> E.xA.z(E.x((z e. w /\ w e. x) /\ (z e. x /\ x e. y)) <-> z = x))
8		eqt2b 818	. . . . . . . . . 10 |- (v = x -> (u = v <-> u = x))
9	8	bibi2d 470	. . . . . . . . 9 |- (v = x -> ((E.t((u e. w /\ w e. t) /\ (u e. t /\ t e. y)) <-> u = v) <-> (E.t((u e. w /\ w e. t) /\ (u e. t /\ t e. y)) <-> u = x)))
10		a14b 820	. . . . . . . . . . . . 13 |- (t = x -> (w e. t <-> w e. x))
11	10	anbi2d 468	. . . . . . . . . . . 12 |- (t = x -> ((u e. w /\ w e. t) <-> (u e. w /\ w e. x)))
12		a14b 820	. . . . . . . . . . . . 13 |- (t = x -> (u e. t <-> u e. x))
13		a13b 819	. . . . . . . . . . . . 13 |- (t = x -> (t e. y <-> x e. y))
14	12, 13	anbi12d 476	. . . . . . . . . . . 12 |- (t = x -> ((u e. t /\ t e. y) <-> (u e. x /\ x e. y)))
15	11, 14	anbi12d 476	. . . . . . . . . . 11 |- (t = x -> (((u e. w /\ w e. t) /\ (u e. t /\ t e. y)) <-> ((u e. w /\ w e. x) /\ (u e. x /\ x e. y))))
16	15	cbvexv 973	. . . . . . . . . 10 |- (E.t((u e. w /\ w e. t) /\ (u e. t /\ t e. y)) <-> E.x((u e. w /\ w e. x) /\ (u e. x /\ x e. y)))
17	16	bibi1i 461	. . . . . . . . 9 |- ((E.t((u e. w /\ w e. t) /\ (u e. t /\ t e. y)) <-> u = x) <-> (E.x((u e. w /\ w e. x) /\ (u e. x /\ x e. y)) <-> u = x))
18	9, 17	syl6bb 414	. . . . . . . 8 |- (v = x -> ((E.t((u e. w /\ w e. t) /\ (u e. t /\ t e. y)) <-> u = v) <-> (E.x((u e. w /\ w e. x) /\ (u e. x /\ x e. y)) <-> u = x)))
19	18	bialdv 935	. . . . . . 7 |- (v = x -> (A.u(E.t((u e. w /\ w e. t) /\ (u e. t /\ t e. y)) <-> u = v) <-> A.u(E.x((u e. w /\ w e. x) /\ (u e. x /\ x e. y)) <-> u = x)))
20		a13b 819	. . . . . . . . . . . 12 |- (u = z -> (u e. w <-> z e. w))
21	20	anbi1d 469	. . . . . . . . . . 11 |- (u = z -> ((u e. w /\ w e. x) <-> (z e. w /\ w e. x)))
22		a13b 819	. . . . . . . . . . . 12 |- (u = z -> (u e. x <-> z e. x))
23	22	anbi1d 469	. . . . . . . . . . 11 |- (u = z -> ((u e. x /\ x e. y) <-> (z e. x /\ x e. y)))
24	21, 23	anbi12d 476	. . . . . . . . . 10 |- (u = z -> (((u e. w /\ w e. x) /\ (u e. x /\ x e. y)) <-> ((z e. w /\ w e. x) /\ (z e. x /\ x e. y))))
25	24	biexdv 936	. . . . . . . . 9 |- (u = z -> (E.x((u e. w /\ w e. x) /\ (u e. x /\ x e. y)) <-> E.x((z e. w /\ w e. x) /\ (z e. x /\ x e. y))))
26		a8b 817	. . . . . . . . 9 |- (u = z -> (u = x <-> z = x))
27	25, 26	bibi12d 477	. . . . . . . 8 |- (u = z -> ((E.x((u e. w /\ w e. x) /\ (u e. x /\ x e. y)) <-> u = x) <-> (E.x((z e. w /\ w e. x) /\ (z e. x /\ x e. y)) <-> z = x)))
28	27	cbvalv 972	. . . . . . 7 |- (A.u(E.x((u e. w /\ w e. x) /\ (u e. x /\ x e. y)) <-> u = x) <-> A.z(E.x((z e. w /\ w e. x) /\ (z e. x /\ x e. y)) <-> z = x))
29	19, 28	syl6bb 414	. . . . . 6 |- (v = x -> (A.u(E.t((u e. w /\ w e. t) /\ (u e. t /\ t e. y)) <-> u = v) <-> A.z(E.x((z e. w /\ w e. x) /\ (z e. x /\ x e. y)) <-> z = x)))
30	29	cbvexv 973	. . . . 5 |- (E.vA.u(E.t((u e. w /\ w e. t) /\ (u e. t /\ t e. y)) <-> u = v) <-> E.xA.z(E.x((z e. w /\ w e. x) /\ (z e. x /\ x e. y)) <-> z = x))
31	30	imbi2i 160	. . . 4 |- (((z e. w /\ w e. x) -> E.vA.u(E.t((u e. w /\ w e. t) /\ (u e. t /\ t e. y)) <-> u = v)) <-> ((z e. w /\ w e. x) -> E.xA.z(E.x((z e. w /\ w e. x) /\ (z e. x /\ x e. y)) <-> z = x)))
32	31	bi2al 696	. . 3 |- (A.zA.w((z e. w /\ w e. x) -> E.vA.u(E.t((u e. w /\ w e. t) /\ (u e. t /\ t e. y)) <-> u = v)) <-> A.zA.w((z e. w /\ w e. x) -> E.xA.z(E.x((z e. w /\ w e. x) /\ (z e. x /\ x e. y)) <-> z = x)))
33	32	biex 733	. 2 |- (E.yA.zA.w((z e. w /\ w e. x) -> E.vA.u(E.t((u e. w /\ w e. t) /\ (u e. t /\ t e. y)) <-> u = v)) <-> E.yA.zA.w((z e. w /\ w e. x) -> E.xA.z(E.x((z e. w /\ w e. x) /\ (z e. x /\ x e. y)) <-> z = x)))
34	7, 33	mpbir 165	1 |- E.yA.zA.w((z e. w /\ w e. x) -> E.vA.u(E.t((u e. w /\ w e. t) /\ (u e. t /\ t e. y)) <-> u = v))

Syntax hints:   -> wi 2   <-> wb 127   /\ wa 196  A.wal 672  E.wex 678   = weq 797   e. wel 803

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-ac 1080

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-fr 2169

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