Theorem zfcndinf 3764

Description: Axiom of Infinity, reproved from conditionless ZFC axioms.

Assertion

Ref	Expression
zfcndinf	|- E.y(x e. y /\ A.z(z e. y -> E.w(z e. w /\ w e. y)))

Distinct variable group(s):   x,y,z,w

Proof of Theorem zfcndinf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		el 1860	. . 3 |- E.w x e. w
2		ax-17 925	. . . . . 6 |- (x e. y -> A.w x e. y)
3		hbe1 709	. . . . . . . 8 |- (E.w(x e. w /\ w e. y) -> A.wE.w(x e. w /\ w e. y))
4	2, 3	hbim 702	. . . . . . 7 |- ((x e. y -> E.w(x e. w /\ w e. y)) -> A.w(x e. y -> E.w(x e. w /\ w e. y)))
5	4	hbal 700	. . . . . 6 |- (A.x(x e. y -> E.w(x e. w /\ w e. y)) -> A.wA.x(x e. y -> E.w(x e. w /\ w e. y)))
6	2, 5	hban 704	. . . . 5 |- ((x e. y /\ A.x(x e. y -> E.w(x e. w /\ w e. y))) -> A.w(x e. y /\ A.x(x e. y -> E.w(x e. w /\ w e. y))))
7	6	hbex 701	. . . 4 |- (E.y(x e. y /\ A.x(x e. y -> E.w(x e. w /\ w e. y))) -> A.wE.y(x e. y /\ A.x(x e. y -> E.w(x e. w /\ w e. y))))
8		ax-17 925	. . . . 5 |- (x e. w -> A.y x e. w)
9		axinfnd 3752	. . . . . 6 |- E.y(x e. w -> (x e. y /\ A.x(x e. y -> E.w(x e. w /\ w e. y))))
10	9	19.35i 755	. . . . 5 |- (A.y x e. w -> E.y(x e. y /\ A.x(x e. y -> E.w(x e. w /\ w e. y))))
11	8, 10	syl 12	. . . 4 |- (x e. w -> E.y(x e. y /\ A.x(x e. y -> E.w(x e. w /\ w e. y))))
12	7, 11	19.23ai 746	. . 3 |- (E.w x e. w -> E.y(x e. y /\ A.x(x e. y -> E.w(x e. w /\ w e. y))))
13	1, 12	ax-mp 6	. 2 |- E.y(x e. y /\ A.x(x e. y -> E.w(x e. w /\ w e. y)))
14		a13b 819	. . . . . 6 |- (z = x -> (z e. y <-> x e. y))
15		a13b 819	. . . . . . . 8 |- (z = x -> (z e. w <-> x e. w))
16	15	anbi1d 469	. . . . . . 7 |- (z = x -> ((z e. w /\ w e. y) <-> (x e. w /\ w e. y)))
17	16	biexdv 936	. . . . . 6 |- (z = x -> (E.w(z e. w /\ w e. y) <-> E.w(x e. w /\ w e. y)))
18	14, 17	imbi12d 474	. . . . 5 |- (z = x -> ((z e. y -> E.w(z e. w /\ w e. y)) <-> (x e. y -> E.w(x e. w /\ w e. y))))
19	18	cbvalv 972	. . . 4 |- (A.z(z e. y -> E.w(z e. w /\ w e. y)) <-> A.x(x e. y -> E.w(x e. w /\ w e. y)))
20	19	anbi2i 367	. . 3 |- ((x e. y /\ A.z(z e. y -> E.w(z e. w /\ w e. y))) <-> (x e. y /\ A.x(x e. y -> E.w(x e. w /\ w e. y))))
21	20	biex 733	. 2 |- (E.y(x e. y /\ A.z(z e. y -> E.w(z e. w /\ w e. y))) <-> E.y(x e. y /\ A.x(x e. y -> E.w(x e. w /\ w e. y))))
22	13, 21	mpbir 165	1 |- E.y(x e. y /\ A.z(z e. y -> E.w(z e. w /\ w e. y)))

Syntax hints:   -> wi 2   /\ wa 196  A.wal 672  E.wex 678   = weq 797   e. wel 803

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812

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