Theorem zfcndun 3761

Description: Axiom of Union, reproved from conditionless ZFC axioms.

Assertion

Ref	Expression
zfcndun	|- E.yA.z(E.w(z e. w /\ w e. x) -> z e. y)

Distinct variable group(s):   x,y,z,w

Proof of Theorem zfcndun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axunnd 3742	. 2 |- E.yA.z(E.y(z e. y /\ y e. x) -> z e. y)
2		a14b 820	. . . . . . 7 |- (w = y -> (z e. w <-> z e. y))
3		a13b 819	. . . . . . 7 |- (w = y -> (w e. x <-> y e. x))
4	2, 3	anbi12d 476	. . . . . 6 |- (w = y -> ((z e. w /\ w e. x) <-> (z e. y /\ y e. x)))
5	4	cbvexv 973	. . . . 5 |- (E.w(z e. w /\ w e. x) <-> E.y(z e. y /\ y e. x))
6	5	imbi1i 161	. . . 4 |- ((E.w(z e. w /\ w e. x) -> z e. y) <-> (E.y(z e. y /\ y e. x) -> z e. y))
7	6	bial 695	. . 3 |- (A.z(E.w(z e. w /\ w e. x) -> z e. y) <-> A.z(E.y(z e. y /\ y e. x) -> z e. y))
8	7	biex 733	. 2 |- (E.yA.z(E.w(z e. w /\ w e. x) -> z e. y) <-> E.yA.z(E.y(z e. y /\ y e. x) -> z e. y))
9	1, 8	mpbir 165	1 |- E.yA.z(E.w(z e. w /\ w e. x) -> z e. y)

Syntax hints:   -> wi 2   /\ wa 196  A.wal 672  E.wex 678   = weq 797   e. wel 803

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-fr 2169

metamath.org