Theorem zfregcl 3446

Description: The Axiom of Regularity with class variables.

Hypothesis

Ref	Expression
zfregcl.1	|- A e. V

Assertion

Ref	Expression
zfregcl	|- (E.x x e. A -> E.x e. A A.y e. x -. y e. A)

Distinct variable group(s):   x,y,A

Proof of Theorem zfregcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zfregcl.1	. 2 |- A e. V
2		eleq2 1150	. . . 4 |- (z = A -> (x e. z <-> x e. A))
3	2	biexdv 936	. . 3 |- (z = A -> (E.x x e. z <-> E.x x e. A))
4		eleq2 1150	. . . . . 6 |- (z = A -> (y e. z <-> y e. A))
5	4	negbid 463	. . . . 5 |- (z = A -> (-. y e. z <-> -. y e. A))
6	5	biraldv 1219	. . . 4 |- (z = A -> (A.y e. x -. y e. z <-> A.y e. x -. y e. A))
7	6	rexeqd 1328	. . 3 |- (z = A -> (E.x e. z A.y e. x -. y e. z <-> E.x e. A A.y e. x -. y e. A))
8	3, 7	imbi12d 474	. 2 |- (z = A -> ((E.x x e. z -> E.x e. z A.y e. x -. y e. z) <-> (E.x x e. A -> E.x e. A A.y e. x -. y e. A)))
9		hbre1 1239	. . 3 |- (E.x e. z A.y e. x -. y e. z -> A.xE.x e. z A.y e. x -. y e. z)
10		axreg 1083	. . . 4 |- (x e. z -> E.x(x e. z /\ A.y(y e. x -> -. y e. z)))
11		df-ral 1205	. . . . . 6 |- (A.y e. x -. y e. z <-> A.y(y e. x -> -. y e. z))
12	11	birex 1224	. . . . 5 |- (E.x e. z A.y e. x -. y e. z <-> E.x e. z A.y(y e. x -> -. y e. z))
13		df-rex 1206	. . . . 5 |- (E.x e. z A.y(y e. x -> -. y e. z) <-> E.x(x e. z /\ A.y(y e. x -> -. y e. z)))
14	12, 13	bitr2 152	. . . 4 |- (E.x(x e. z /\ A.y(y e. x -> -. y e. z)) <-> E.x e. z A.y e. x -. y e. z)
15	10, 14	sylib 173	. . 3 |- (x e. z -> E.x e. z A.y e. x -. y e. z)
16	9, 15	19.23ai 746	. 2 |- (E.x x e. z -> E.x e. z A.y e. x -. y e. z)
17	1, 8, 16	vtocl 1378	1 |- (E.x x e. A -> E.x e. A A.y e. x -. y e. A)

Syntax hints:  -. wn 1   -> wi 2   /\ wa 196  A.wal 672  E.wex 678   e. wel 803   = wceq 1091   e. wcel 1092  A.wral 1201  E.wrex 1202  Vcvv 1348

This theorem is referenced by:  zfreg 3447  zfreg2 3448  eirrv 3449

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-9 799  ax-12 802  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-reg 1078

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349

metamath.org