Theorem zfregs 3491

Description: The strong form of the Axiom of Regularity, which does not require that A be a set. Axiom 6' of [TakeutiZaring] p. 21. The proof makes use of a special case of Proposition 9.4 of [TakeutiZaring] p. 75.

Assertion

Ref	Expression
zfregs	|- (-. A = (/) -> E.x e. A (x i^i A) = (/))

Distinct variable group(s):   x,A

Proof of Theorem zfregs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0 1714	. 2 |- (-. A = (/) <-> E.z z e. A)
2		snex 1859	. . . . 5 |- {z} e. V
3	2	tz9.1 3490	. . . 4 |- E.y({z} (_ y /\ Tr y /\ A.w(({z} (_ w /\ Tr w) -> y (_ w))
4		trel 2048	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- (Tr y -> ((w e. x /\ x e. y) -> w e. y))
5		inass 1650	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ((y i^i A) i^i x) = (y i^i (A i^i x))
6		incom 1636	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- (A i^i x) = (x i^i A)
7	6	ineq2i 1642	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- (y i^i (A i^i x)) = (y i^i (x i^i A))
8	5, 7	eqtr 1119	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ((y i^i A) i^i x) = (y i^i (x i^i A))
9	8	eleq2i 1153	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- (w e. ((y i^i A) i^i x) <-> w e. (y i^i (x i^i A)))
10		elin 1635	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- (w e. (y i^i (x i^i A)) <-> (w e. y /\ w e. (x i^i A)))
11	9, 10	bitr2 152	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ((w e. y /\ w e. (x i^i A)) <-> w e. ((y i^i A) i^i x))
12		n0i 1712	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- (w e. ((y i^i A) i^i x) -> -. ((y i^i A) i^i x) = (/))
13	11, 12	sylbi 174	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ((w e. y /\ w e. (x i^i A)) -> -. ((y i^i A) i^i x) = (/))
14	13	exp 291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- (w e. y -> (w e. (x i^i A) -> -. ((y i^i A) i^i x) = (/)))
15	4, 14	syl6 23	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (Tr y -> ((w e. x /\ x e. y) -> (w e. (x i^i A) -> -. ((y i^i A) i^i x) = (/))))
16	15	exp3a 292	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (Tr y -> (w e. x -> (x e. y -> (w e. (x i^i A) -> -. ((y i^i A) i^i x) = (/)))))
17	16	com34 36	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (Tr y -> (w e. x -> (w e. (x i^i A) -> (x e. y -> -. ((y i^i A) i^i x) = (/)))))
18	17	imp3a 279	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (Tr y -> ((w e. x /\ w e. (x i^i A)) -> (x e. y -> -. ((y i^i A) i^i x) = (/))))
19		inss1 1657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (x i^i A) (_ x
20	19	sseli 1504	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (w e. (x i^i A) -> w e. x)
21	20	ancri 245	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (w e. (x i^i A) -> (w e. x /\ w e. (x i^i A)))
22	18, 21	syl5 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (Tr y -> (w e. (x i^i A) -> (x e. y -> -. ((y i^i A) i^i x) = (/))))
23	22	19.23adv 954	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (Tr y -> (E.w w e. (x i^i A) -> (x e. y -> -. ((y i^i A) i^i x) = (/))))
24		n0 1714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (-. (x i^i A) = (/) <-> E.w w e. (x i^i A))
25	23, 24	syl5ib 181	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (Tr y -> (-. (x i^i A) = (/) -> (x e. y -> -. ((y i^i A) i^i x) = (/))))
26	25	com23 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (Tr y -> (x e. y -> (-. (x i^i A) = (/) -> -. ((y i^i A) i^i x) = (/))))
27	26	imp 277	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((Tr y /\ x e. y) -> (-. (x i^i A) = (/) -> -. ((y i^i A) i^i x) = (/)))
28	27	a3d 70	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((Tr y /\ x e. y) -> (((y i^i A) i^i x) = (/) -> (x i^i A) = (/)))
29	28	anim2d 433	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((Tr y /\ x e. y) -> ((x e. A /\ ((y i^i A) i^i x) = (/)) -> (x e. A /\ (x i^i A) = (/))))
30	29	exp 291	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (Tr y -> (x e. y -> ((x e. A /\ ((y i^i A) i^i x) = (/)) -> (x e. A /\ (x i^i A) = (/)))))
31	30	imp3a 279	. . . . . . . . . . . . 13 |- (Tr y -> ((x e. y /\ (x e. A /\ ((y i^i A) i^i x) = (/))) -> (x e. A /\ (x i^i A) = (/))))
32		elin 1635	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (x e. (y i^i A) <-> (x e. y /\ x e. A))
33	32	anbi1i 368	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((x e. (y i^i A) /\ ((y i^i A) i^i x) = (/)) <-> ((x e. y /\ x e. A) /\ ((y i^i A) i^i x) = (/)))
34		anass 336	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((x e. y /\ x e. A) /\ ((y i^i A) i^i x) = (/)) <-> (x e. y /\ (x e. A /\ ((y i^i A) i^i x) = (/))))
35	33, 34	bitr 151	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((x e. (y i^i A) /\ ((y i^i A) i^i x) = (/)) <-> (x e. y /\ (x e. A /\ ((y i^i A) i^i x) = (/))))
36	31, 35	syl5ib 181	. . . . . . . . . . . 12 |- (Tr y -> ((x e. (y i^i A) /\ ((y i^i A) i^i x) = (/)) -> (x e. A /\ (x i^i A) = (/))))
37	36	r19.22dv2 1277	. . . . . . . . . . 11 |- (Tr y -> (E.x e. (y i^i A)((y i^i A) i^i x) = (/) -> E.x e. A (x i^i A) = (/)))
38		visset 1350	. . . . . . . . . . . . 13 |- y e. V
39	38	inex1 1697	. . . . . . . . . . . 12 |- (y i^i A) e. V
40	39	zfreg2 3448	. . . . . . . . . . 11 |- (-. (y i^i A) = (/) -> E.x e. (y i^i A)((y i^i A) i^i x) = (/))
41	37, 40	syl5 22	. . . . . . . . . 10 |- (Tr y -> (-. (y i^i A) = (/) -> E.x e. A (x i^i A) = (/)))
42		snssi 1851	. . . . . . . . . . . . 13 |- (z e. A -> {z} (_ A)
43	42	anim2i 270	. . . . . . . . . . . 12 |- (({z} (_ y /\ z e. A) -> ({z} (_ y /\ {z} (_ A))
44		ssin 1659	. . . . . . . . . . . . 13 |- (({z} (_ y /\ {z} (_ A) <-> {z} (_ (y i^i A))
45		visset 1350	. . . . . . . . . . . . . 14 |- z e. V
46	45	snss 1849	. . . . . . . . . . . . 13 |- (z e. (y i^i A) <-> {z} (_ (y i^i A))
47	44, 46	bitr4 154	. . . . . . . . . . . 12 |- (({z} (_ y /\ {z} (_ A) <-> z e. (y i^i A))
48	43, 47	sylib 173	. . . . . . . . . . 11 |- (({z} (_ y /\ z e. A) -> z e. (y i^i A))
49		n0i 1712	. . . . . . . . . . 11 |- (z e. (y i^i A) -> -. (y i^i A) = (/))
50	48, 49	syl 12	. . . . . . . . . 10 |- (({z} (_ y /\ z e. A) -> -. (y i^i A) = (/))
51	41, 50	syl5 22	. . . . . . . . 9 |- (Tr y -> (({z} (_ y /\ z e. A) -> E.x e. A (x i^i A) = (/)))
52	51	exp3a 292	. . . . . . . 8 |- (Tr y -> ({z} (_ y -> (z e. A -> E.x e. A (x i^i A) = (/))))
53	52	com12 13	. . . . . . 7 |- ({z} (_ y -> (Tr y -> (z e. A -> E.x e. A (x i^i A) = (/))))
54	53	imp 277	. . . . . 6 |- (({z} (_ y /\ Tr y) -> (z e. A -> E.x e. A (x i^i A) = (/)))
55	54	3adant3 599	. . . . 5 |- (({z} (_ y /\ Tr y /\ A.w(({z} (_ w /\ Tr w) -> y (_ w)) -> (z e. A -> E.x e. A (x i^i A) = (/)))
56	55	19.23aiv 952	. . . 4 |- (E.y({z} (_ y /\ Tr y /\ A.w(({z} (_ w /\ Tr w) -> y (_ w)) -> (z e. A -> E.x e. A (x i^i A) = (/)))
57	3, 56	ax-mp 6	. . 3 |- (z e. A -> E.x e. A (x i^i A) = (/))
58	57	19.23aiv 952	. 2 |- (E.z z e. A -> E.x e. A (x i^i A) = (/))
59	1, 58	sylbi 174	1 |- (-. A = (/) -> E.x e. A (x i^i A) = (/))

Syntax hints:  -. wn 1   -> wi 2   /\ wa 196   /\ w3a 581  A.wal 672  E.wex 678   e. wel 803   = wceq 1091   e. wcel 1092  E.wrex 1202   i^i cin 1486   (_ wss 1487  (/)c0 1707  {csn 1808  Tr wtr 2041

This theorem is referenced by:  setind 3492

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970

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