Theorem zornlem1 3603

Description: Lemma for Zorn's lemma.

Hypotheses

Ref	Expression
zornlem.1	|- A e. V
zornlem.2	|- B = {f | E.h e. On (f Fn h /\ A.t e. h (f` t) = (G` (f |` t)))}
zornlem.3	|- F = U.B
zornlem.4	|- C = {z e. A | A.g e. ran fgRz}
zornlem.5	|- D = {z e. A | A.g e. (F"x)gRz}
zornlem.6	|- G = {<.f, t>. | t = U.{v e. C | A.u e. C -. uwv}}

Assertion

Ref	Expression
zornlem1	|- ((x e. On /\ (w We A /\ -. D = (/))) -> (F` x) e. D)

Distinct variable group(s):   x,w,h,t,z,f,g,u,v,A   B,h,t,f   x,F,z,v,u,f,g,h,t   h,G,t,f   t,C   u,D,v,f,t   x,R,z,w,g,u,v,f,t

Proof of Theorem zornlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zornlem.2	. . . . . 6 |- B = {f | E.h e. On (f Fn h /\ A.t e. h (f` t) = (G` (f |` t)))}
2		zornlem.3	. . . . . 6 |- F = U.B
3	1, 2	tfr2 2963	. . . . 5 |- (x e. On -> (F` x) = (G` (F |` x)))
4		zornlem.6	. . . . . . 7 |- G = {<.f, t>. | t = U.{v e. C | A.u e. C -. uwv}}
5	4	fveq1i 2833	. . . . . 6 |- (G` (F |` x)) = ({<.f, t>. | t = U.{v e. C | A.u e. C -. uwv}}` (F |` x))
6		visset 1350	. . . . . . . 8 |- x e. V
7	1, 2	tfrlem7 2955	. . . . . . . 8 |- Fun F
8		resfunexg 2717	. . . . . . . 8 |- (x e. V -> (Fun F -> (F |` x) e. V))
9	6, 7, 8	mp2 43	. . . . . . 7 |- (F |` x) e. V
10		zornlem.1	. . . . . . . . . 10 |- A e. V
11		zornlem.5	. . . . . . . . . . 11 |- D = {z e. A | A.g e. (F"x)gRz}
12		ssrab 1556	. . . . . . . . . . 11 |- {z e. A | A.g e. (F"x)gRz} (_ A
13	11, 12	eqsstr 1530	. . . . . . . . . 10 |- D (_ A
14	10, 13	ssexi 1701	. . . . . . . . 9 |- D e. V
15	14	rabex 1706	. . . . . . . 8 |- {v e. D | A.u e. D -. uwv} e. V
16	15	uniex 1947	. . . . . . 7 |- U.{v e. D | A.u e. D -. uwv} e. V
17		rneq 2555	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (f = (F |` x) -> ran f = ran (F |` x))
18		df-ima 2431	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (F"x) = ran (F |` x)
19	17, 18	syl6eqr 1142	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (f = (F |` x) -> ran f = (F"x))
20	19	eleq2d 1156	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (f = (F |` x) -> (g e. ran f <-> g e. (F"x)))
21	20	imbi1d 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (f = (F |` x) -> ((g e. ran f -> gRz) <-> (g e. (F"x) -> gRz)))
22	21	biraldv2 1221	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (f = (F |` x) -> (A.g e. ran fgRz <-> A.g e. (F"x)gRz))
23	22	birabsdv 1344	. . . . . . . . . . . . 13 |- (f = (F |` x) -> {z e. A | A.g e. ran fgRz} = {z e. A | A.g e. (F"x)gRz})
24		zornlem.4	. . . . . . . . . . . . 13 |- C = {z e. A | A.g e. ran fgRz}
25	23, 24, 11	3eqtr4g 1147	. . . . . . . . . . . 12 |- (f = (F |` x) -> C = D)
26	25	eleq2d 1156	. . . . . . . . . . 11 |- (f = (F |` x) -> (v e. C <-> v e. D))
27	25	eleq2d 1156	. . . . . . . . . . . . 13 |- (f = (F |` x) -> (u e. C <-> u e. D))
28	27	imbi1d 465	. . . . . . . . . . . 12 |- (f = (F |` x) -> ((u e. C -> -. uwv) <-> (u e. D -> -. uwv)))
29	28	biraldv2 1221	. . . . . . . . . . 11 |- (f = (F |` x) -> (A.u e. C -. uwv <-> A.u e. D -. uwv))
30	26, 29	anbi12d 476	. . . . . . . . . 10 |- (f = (F |` x) -> ((v e. C /\ A.u e. C -. uwv) <-> (v e. D /\ A.u e. D -. uwv)))
31	30	biabdv 1183	. . . . . . . . 9 |- (f = (F |` x) -> {v | (v e. C /\ A.u e. C -. uwv)} = {v | (v e. D /\ A.u e. D -. uwv)})
32		df-rab 1208	. . . . . . . . 9 |- {v e. C | A.u e. C -. uwv} = {v | (v e. C /\ A.u e. C -. uwv)}
33		df-rab 1208	. . . . . . . . 9 |- {v e. D | A.u e. D -. uwv} = {v | (v e. D /\ A.u e. D -. uwv)}
34	31, 32, 33	3eqtr4g 1147	. . . . . . . 8 |- (f = (F |` x) -> {v e. C | A.u e. C -. uwv} = {v e. D | A.u e. D -. uwv})
35	34	unieqd 1929	. . . . . . 7 |- (f = (F |` x) -> U.{v e. C | A.u e. C -. uwv} = U.{v e. D | A.u e. D -. uwv})
36	9, 16, 35	fvopab 2877	. . . . . 6 |- ({<.f, t>. | t = U.{v e. C | A.u e. C -. uwv}}` (F |` x)) = U.{v e. D | A.u e. D -. uwv}
37	5, 36	eqtr 1119	. . . . 5 |- (G` (F |` x)) = U.{v e. D | A.u e. D -. uwv}
38	3, 37	syl6eq 1140	. . . 4 |- (x e. On -> (F` x) = U.{v e. D | A.u e. D -. uwv})
39	38	eleq1d 1155	. . 3 |- (x e. On -> ((F` x) e. D <-> U.{v e. D | A.u e. D -. uwv} e. D))
40	14	wereu 2197	. . . . 5 |- ((w We A /\ (D (_ A /\ -. D = (/))) -> E!v e. D A.u e. D -. uwv)
41	13, 40	mpan21 531	. . . 4 |- ((w We A /\ -. D = (/)) -> E!v e. D A.u e. D -. uwv)
42		reucl 1957	. . . 4 |- (E!v e. D A.u e. D -. uwv -> U.{v e. D | A.u e. D -. uwv} e. D)
43	41, 42	syl 12	. . 3 |- ((w We A /\ -. D = (/)) -> U.{v e. D | A.u e. D -. uwv} e. D)
44	39, 43	syl5bir 184	. 2 |- (x e. On -> ((w We A /\ -. D = (/)) -> (F` x) e. D))
45	44	imp 277	1 |- ((x e. On /\ (w We A /\ -. D = (/))) -> (F` x) e. D)

Syntax hints:  -. wn 1   -> wi 2   /\ wa 196  {cab 1090   = wceq 1091   e. wcel 1092  A.wral 1201  E.wrex 1202  E!wreu 1203  {crab 1204  Vcvv 1348   (_ wss 1487  (/)c0 1707  U.cuni 1919   class class class wbr 2054  {copab 2055   We wwe 2062  Oncon0 2199  ran crn 2411   |` cres 2412  "cima 2413  Fun wfun 2416   Fn wfn 2417  ` cfv 2422

This theorem is referenced by:  zornlem2 3604  zornlem3 3605  zornlem4 3606  zornlem5 3607

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-suc 2205  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-fv 2438

metamath.org