Theorem 0elon 2277

Description: The empty set is an ordinal number. Corollary 7N(b) of [Enderton] p. 193.

Assertion

Ref	Expression
0elon	⊢ ∅ ∈ On

Proof of Theorem 0elon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ord0 2276	. 2 ⊢ Ord ∅
2		0ex 1745	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
3	2	elon 2208	. 2 ⊢ (∅ ∈ On ↔ Ord ∅)
4	1, 3	mpbir 165	1 ⊢ ∅ ∈ On

Syntax hints:   ∈ wcel 1092  ∅c0 1707  Ord word 2198  Oncon0 2199

This theorem is referenced by:  inton 2281  onne0 2287  limsuc 2361  orduninsuc 2365  on0eqelt 2370  tz7.44-1 2966  rdgsuct 2983  rdglimt 2986  1o 3109  ordgt0ge1 3114  oa0 3124  om0 3125  oe0m 3127  oe0m0 3128  oe0 3130  oa1suc 3132  oesuc 3134  omcl 3139  oecl 3140  oa0r 3141  om0r 3142  om1 3144  oe1 3146  oaord1 3153  oaword1 3154  oaword2 3155  oawordeu 3157  oa00 3161  rankon 3515  numth2 3600  card0 3630  alephon 3671  alephgeom 3687  cdafi 3730

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-tr 2042  df-br 2063  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203

metamath.org