Theorem 0idsr 4000

Description: The signed real number 0 is an identity element for addition of signed reals.

Assertion

Ref	Expression
0idsr	⊢ (A ∈ R → (A +R 0R) = A)

Proof of Theorem 0idsr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nr 3961	. 2 ⊢ R = ((P × P) / ~R )
2		opreq1 3006	. . 3 ⊢ ([⟨x, y⟩] ~R = A → ([⟨x, y⟩] ~R +R 0R) = (A +R 0R))
3		id 9	. . 3 ⊢ ([⟨x, y⟩] ~R = A → [⟨x, y⟩] ~R = A)
4	2, 3	cleq12d 1115	. 2 ⊢ ([⟨x, y⟩] ~R = A → (([⟨x, y⟩] ~R +R 0R) = [⟨x, y⟩] ~R ↔ (A +R 0R) = A))
5		1pr 3911	. . . . . 6 ⊢ 1P ∈ P
6	5, 5	pm3.2i 234	. . . . 5 ⊢ (1P ∈ P ∧ 1P ∈ P)
7		addsrpr 3978	. . . . 5 ⊢ (((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (1P ∈ P ∧ 1P ∈ P)) → ([⟨x, y⟩] ~R +R [⟨1P, 1P⟩] ~R ) = [⟨(x +P 1P), (y +P 1P)⟩] ~R )
8	6, 7	mpan2 519	. . . 4 ⊢ ((x ∈ P ∧ y ∈ P) → ([⟨x, y⟩] ~R +R [⟨1P, 1P⟩] ~R ) = [⟨(x +P 1P), (y +P 1P)⟩] ~R )
9		addclpr 3914	. . . . . . 7 ⊢ ((x ∈ P ∧ 1P ∈ P) → (x +P 1P) ∈ P)
10	5, 9	mpan2 519	. . . . . 6 ⊢ (x ∈ P → (x +P 1P) ∈ P)
11		addclpr 3914	. . . . . . 7 ⊢ ((y ∈ P ∧ 1P ∈ P) → (y +P 1P) ∈ P)
12	5, 11	mpan2 519	. . . . . 6 ⊢ (y ∈ P → (y +P 1P) ∈ P)
13	10, 12	anim12i 268	. . . . 5 ⊢ ((x ∈ P ∧ y ∈ P) → ((x +P 1P) ∈ P ∧ (y +P 1P) ∈ P))
14		visset 1350	. . . . . . 7 ⊢ x ∈ V
15		visset 1350	. . . . . . 7 ⊢ y ∈ V
16	5	elisseti 1355	. . . . . . 7 ⊢ 1P ∈ V
17		visset 1350	. . . . . . . 8 ⊢ z ∈ V
18		visset 1350	. . . . . . . 8 ⊢ w ∈ V
19	17, 18	addcompr 3917	. . . . . . 7 ⊢ (z +P w) = (w +P z)
20		visset 1350	. . . . . . . 8 ⊢ v ∈ V
21	18, 20	addasspr 3918	. . . . . . 7 ⊢ ((z +P w) +P v) = (z +P (w +P v))
22	14, 15, 16, 19, 21	caopr12 3075	. . . . . 6 ⊢ (x +P (y +P 1P)) = (y +P (x +P 1P))
23		enreceq 3971	. . . . . 6 ⊢ (((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ ((x +P 1P) ∈ P ∧ (y +P 1P) ∈ P)) → ([⟨x, y⟩] ~R = [⟨(x +P 1P), (y +P 1P)⟩] ~R ↔ (x +P (y +P 1P)) = (y +P (x +P 1P))))
24	22, 23	mpbiri 169	. . . . 5 ⊢ (((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ ((x +P 1P) ∈ P ∧ (y +P 1P) ∈ P)) → [⟨x, y⟩] ~R = [⟨(x +P 1P), (y +P 1P)⟩] ~R )
25	13, 24	mpdan 527	. . . 4 ⊢ ((x ∈ P ∧ y ∈ P) → [⟨x, y⟩] ~R = [⟨(x +P 1P), (y +P 1P)⟩] ~R )
26	8, 25	eqtr4d 1131	. . 3 ⊢ ((x ∈ P ∧ y ∈ P) → ([⟨x, y⟩] ~R +R [⟨1P, 1P⟩] ~R ) = [⟨x, y⟩] ~R )
27		df-0r 3965	. . . 4 ⊢ 0R = [⟨1P, 1P⟩] ~R
28	27	opreq2i 3010	. . 3 ⊢ ([⟨x, y⟩] ~R +R 0R) = ([⟨x, y⟩] ~R +R [⟨1P, 1P⟩] ~R )
29	26, 28	syl5eq 1136	. 2 ⊢ ((x ∈ P ∧ y ∈ P) → ([⟨x, y⟩] ~R +R 0R) = [⟨x, y⟩] ~R )
30	1, 4, 29	ecoptocl 3239	1 ⊢ (A ∈ R → (A +R 0R) = A)

Syntax hints:   → wi 2   ∧ wa 196   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ⟨cop 1810  (class class class)co 3001  [cec 3198  Pcnp 3779  1_Pc1p 3780   +_P cpp 3781   ~_R cer 3786  Rcnr 3787  0_Rc0r 3788   +_R cplr 3791

This theorem is referenced by:  addgt0sr 4007  sqgt0sr 4009  ssgt0sr 4011  supsrlem2 4020  supsrlem5 4023  addresr 4050  mulresr 4051  ax0id 4076  ax1id 4077  axi2m1 4082  axcnre 4087

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-0r 3965

metamath.org