Theorem 0npi 3804

Description: The empty set is not a positive integer.

Assertion

Ref	Expression
0npi	⊢ ¬ ∅ ∈ N

Proof of Theorem 0npi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cleqid 1102	. 2 ⊢ ∅ = ∅
2		elni 3798	. . 3 ⊢ (∅ ∈ N ↔ (∅ ∈ ω ∧ ¬ ∅ = ∅))
3	2	pm3.27bd 263	. 2 ⊢ (∅ ∈ N → ¬ ∅ = ∅)
4	1, 3	mt2 96	1 ⊢ ¬ ∅ ∈ N

Syntax hints:  ¬ wn 1   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ∅c0 1707  ωcom 2372  Ncnpi 3766

This theorem is referenced by:  addasspi 3817  mulasspi 3819  distrpi 3820  mulcanpi 3821  addnidpi 3822  ltapi 3824  ltmpi 3825  ordpipq 3850  ltsopq 3869

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-nul 1708  df-sn 1811  df-pr 1812  df-ni 3794

metamath.org