Theorem 0sdom1dom 3420

Description: Strict dominance over zero is the same as dominance over one.

Hypothesis

Ref	Expression
0sdom1dom.1	⊢ A ∈ V

Assertion

Ref	Expression
0sdom1dom	⊢ (∅ ≺ A ↔ 1o ≼ A)

Proof of Theorem 0sdom1dom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0sdom1dom.1	. . . . 5 ⊢ A ∈ V
2	1	0sdom 3368	. . . 4 ⊢ (∅ ≺ A ↔ ¬ A = ∅)
3		n0 1714	. . . 4 ⊢ (¬ A = ∅ ↔ ∃x x ∈ A)
4	2, 3	bitr 151	. . 3 ⊢ (∅ ≺ A ↔ ∃x x ∈ A)
5		snssi 1851	. . . . 5 ⊢ (x ∈ A → {x} ⊆ A)
6		ssdom2g 3312	. . . . . 6 ⊢ (A ∈ V → ({x} ⊆ A → {x} ≼ A))
7	1, 6	ax-mp 6	. . . . 5 ⊢ ({x} ⊆ A → {x} ≼ A)
8		1o 3109	. . . . . . . 8 ⊢ 1o ∈ On
9	8	elisseti 1355	. . . . . . 7 ⊢ 1o ∈ V
10		visset 1350	. . . . . . . 8 ⊢ x ∈ V
11	10	ensn1 3329	. . . . . . 7 ⊢ {x} ≈ 1o
12	9, 11	ensymi 3318	. . . . . 6 ⊢ 1o ≈ {x}
13		endomtr 3325	. . . . . 6 ⊢ ((1o ≈ {x} ∧ {x} ≼ A) → 1o ≼ A)
14	12, 13	mpan 518	. . . . 5 ⊢ ({x} ≼ A → 1o ≼ A)
15	5, 7, 14	3syl 21	. . . 4 ⊢ (x ∈ A → 1o ≼ A)
16	15	19.23aiv 952	. . 3 ⊢ (∃x x ∈ A → 1o ≼ A)
17	4, 16	sylbi 174	. 2 ⊢ (∅ ≺ A → 1o ≼ A)
18		df-1o 3104	. . . 4 ⊢ 1o = suc ∅
19	18	breq1i 2068	. . 3 ⊢ (1o ≼ A ↔ suc ∅ ≼ A)
20		peano1 2390	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ ω
21		sucdomi 3419	. . . 4 ⊢ ((∅ ∈ ω ∧ A ∈ V) → (suc ∅ ≼ A → ∅ ≺ A))
22	20, 1, 21	mp2an 520	. . 3 ⊢ (suc ∅ ≼ A → ∅ ≺ A)
23	19, 22	sylbi 174	. 2 ⊢ (1o ≼ A → ∅ ≺ A)
24	17, 23	impbi 139	1 ⊢ (∅ ≺ A ↔ 1o ≼ A)

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ↔ wb 127  ∃wex 678   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  Vcvv 1348   ⊆ wss 1487  ∅c0 1707  {csn 1808   class class class wbr 2054  Oncon0 2199  suc csuc 2201  ωcom 2372  1_oc1o 3099   ≈ cen 3271   ≼ cdom 3272   ≺ csdm 3273

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-1o 3104  df-er 3200  df-en 3274  df-dom 3275  df-sdom 3276

metamath.org