Theorem 19.33b 771

Description: The antecedent provides a condition implying the converse of 19.33 770. Compare Theorem 19.33 of [Margaris] p. 90.

Assertion

Ref	Expression
19.33b	⊢ (¬ (∃xφ ∧ ∃xψ) → (∀x(φ ∨ ψ) ↔ (∀xφ ∨ ∀xψ)))

Proof of Theorem 19.33b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ianor 253	. . . 4 ⊢ (¬ (∃xφ ∧ ∃xψ) ↔ (¬ ∃xφ ∨ ¬ ∃xψ))
2		alnex 716	. . . . 5 ⊢ (∀x ¬ φ ↔ ¬ ∃xφ)
3		alnex 716	. . . . 5 ⊢ (∀x ¬ ψ ↔ ¬ ∃xψ)
4	2, 3	orbi12i 216	. . . 4 ⊢ ((∀x ¬ φ ∨ ∀x ¬ ψ) ↔ (¬ ∃xφ ∨ ¬ ∃xψ))
5	1, 4	bitr4 154	. . 3 ⊢ (¬ (∃xφ ∧ ∃xψ) ↔ (∀x ¬ φ ∨ ∀x ¬ ψ))
6		biorf 551	. . . . . . 7 ⊢ (¬ φ → (ψ ↔ (φ ∨ ψ)))
7	6	19.20i 691	. . . . . 6 ⊢ (∀x ¬ φ → ∀x(ψ ↔ (φ ∨ ψ)))
8		19.15 694	. . . . . 6 ⊢ (∀x(ψ ↔ (φ ∨ ψ)) → (∀xψ ↔ ∀x(φ ∨ ψ)))
9	7, 8	syl 12	. . . . 5 ⊢ (∀x ¬ φ → (∀xψ ↔ ∀x(φ ∨ ψ)))
10		olc 224	. . . . 5 ⊢ (∀xψ → (∀xφ ∨ ∀xψ))
11	9, 10	syl6bir 188	. . . 4 ⊢ (∀x ¬ φ → (∀x(φ ∨ ψ) → (∀xφ ∨ ∀xψ)))
12		biorf 551	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ ψ → (φ ↔ (ψ ∨ φ)))
13		orcom 209	. . . . . . . 8 ⊢ ((ψ ∨ φ) ↔ (φ ∨ ψ))
14	12, 13	syl6bb 414	. . . . . . 7 ⊢ (¬ ψ → (φ ↔ (φ ∨ ψ)))
15	14	19.20i 691	. . . . . 6 ⊢ (∀x ¬ ψ → ∀x(φ ↔ (φ ∨ ψ)))
16		19.15 694	. . . . . 6 ⊢ (∀x(φ ↔ (φ ∨ ψ)) → (∀xφ ↔ ∀x(φ ∨ ψ)))
17	15, 16	syl 12	. . . . 5 ⊢ (∀x ¬ ψ → (∀xφ ↔ ∀x(φ ∨ ψ)))
18		orc 225	. . . . 5 ⊢ (∀xφ → (∀xφ ∨ ∀xψ))
19	17, 18	syl6bir 188	. . . 4 ⊢ (∀x ¬ ψ → (∀x(φ ∨ ψ) → (∀xφ ∨ ∀xψ)))
20	11, 19	jaoi 275	. . 3 ⊢ ((∀x ¬ φ ∨ ∀x ¬ ψ) → (∀x(φ ∨ ψ) → (∀xφ ∨ ∀xψ)))
21	5, 20	sylbi 174	. 2 ⊢ (¬ (∃xφ ∧ ∃xψ) → (∀x(φ ∨ ψ) → (∀xφ ∨ ∀xψ)))
22		19.33 770	. . 3 ⊢ ((∀xφ ∨ ∀xψ) → ∀x(φ ∨ ψ))
23	22	a1i 7	. 2 ⊢ (¬ (∃xφ ∧ ∃xψ) → ((∀xφ ∨ ∀xψ) → ∀x(φ ∨ ψ)))
24	21, 23	impbid 397	1 ⊢ (¬ (∃xφ ∧ ∃xψ) → (∀x(φ ∨ ψ) ↔ (∀xφ ∨ ∀xψ)))

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ↔ wb 127   ∨ wo 195   ∧ wa 196  ∀wal 672  ∃wex 678

This theorem is referenced by:  kmlem16 3595

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-gen 677

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679

metamath.org