Theorem 19.43 767

Description: Theorem 19.43 of [Margaris] p. 90.

Assertion

Ref	Expression
19.43	⊢ (∃x(φ ∨ ψ) ↔ (∃xφ ∨ ∃xψ))

Proof of Theorem 19.43

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioran 254	. . . . 5 ⊢ (¬ (φ ∨ ψ) ↔ (¬ φ ∧ ¬ ψ))
2	1	bial 695	. . . 4 ⊢ (∀x ¬ (φ ∨ ψ) ↔ ∀x(¬ φ ∧ ¬ ψ))
3		19.26 749	. . . 4 ⊢ (∀x(¬ φ ∧ ¬ ψ) ↔ (∀x ¬ φ ∧ ∀x ¬ ψ))
4		alnex 716	. . . . 5 ⊢ (∀x ¬ φ ↔ ¬ ∃xφ)
5		alnex 716	. . . . 5 ⊢ (∀x ¬ ψ ↔ ¬ ∃xψ)
6	4, 5	anbi12i 369	. . . 4 ⊢ ((∀x ¬ φ ∧ ∀x ¬ ψ) ↔ (¬ ∃xφ ∧ ¬ ∃xψ))
7	2, 3, 6	3bitr 155	. . 3 ⊢ (∀x ¬ (φ ∨ ψ) ↔ (¬ ∃xφ ∧ ¬ ∃xψ))
8	7	negbii 162	. 2 ⊢ (¬ ∀x ¬ (φ ∨ ψ) ↔ ¬ (¬ ∃xφ ∧ ¬ ∃xψ))
9		df-ex 679	. 2 ⊢ (∃x(φ ∨ ψ) ↔ ¬ ∀x ¬ (φ ∨ ψ))
10		oran 255	. 2 ⊢ ((∃xφ ∨ ∃xψ) ↔ ¬ (¬ ∃xφ ∧ ¬ ∃xψ))
11	8, 9, 10	3bitr4 158	1 ⊢ (∃x(φ ∨ ψ) ↔ (∃xφ ∨ ∃xψ))

Syntax hints:  ¬ wn 1   ↔ wb 127   ∨ wo 195   ∧ wa 196  ∀wal 672  ∃wex 678

This theorem is referenced by:  19.44 768  19.45 769  19.34 772  r19.43 1304  zfpair 1891  unpr 1930  uniun 1934  iunxun 2035  unopab 2121  dmun 2536  kmlem16 3595

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-gen 677

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679

metamath.org