Theorem 1pr 3911

Description: The positive real number 'one'.

Assertion

Ref	Expression
1pr	⊢ 1P ∈ P

Proof of Theorem 1pr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1lt2pq 3872	. . . . . . . 8 ⊢ 1Q <Q (1Q +Q 1Q)
2		1q 3851	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1Q ∈ Q
3	2	elisseti 1355	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1Q ∈ V
4		oprex 3018	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1Q +Q 1Q) ∈ V
5	3, 4	ltrpq 3879	. . . . . . . . 9 ⊢ (1Q <Q (1Q +Q 1Q) → (*Q ‘(1Q +Q 1Q)) <Q (*Q ‘1Q))
6		fvex 2838	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (*Q ‘1Q) ∈ V
7	6, 3	mulcompq 3858	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((*Q ‘1Q) ·Q 1Q) = (1Q ·Q (*Q ‘1Q))
8		recclpq 3866	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1Q ∈ Q → (*Q ‘1Q) ∈ Q)
9	2, 8	ax-mp 6	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (*Q ‘1Q) ∈ Q
10		mulidpq 3863	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((*Q ‘1Q) ∈ Q → ((*Q ‘1Q) ·Q 1Q) = (*Q ‘1Q))
11	9, 10	ax-mp 6	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((*Q ‘1Q) ·Q 1Q) = (*Q ‘1Q)
12		recidpq 3865	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1Q ∈ Q → (1Q ·Q (*Q ‘1Q)) = 1Q)
13	2, 12	ax-mp 6	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1Q ·Q (*Q ‘1Q)) = 1Q
14	7, 11, 13	3eqtr3 1124	. . . . . . . . 9 ⊢ (*Q ‘1Q) = 1Q
15	5, 14	syl6breq 2093	. . . . . . . 8 ⊢ (1Q <Q (1Q +Q 1Q) → (*Q ‘(1Q +Q 1Q)) <Q 1Q)
16	1, 15	ax-mp 6	. . . . . . 7 ⊢ (*Q ‘(1Q +Q 1Q)) <Q 1Q
17		fvex 2838	. . . . . . . 8 ⊢ (*Q ‘(1Q +Q 1Q)) ∈ V
18		breq1 2065	. . . . . . . 8 ⊢ (x = (*Q ‘(1Q +Q 1Q)) → (x <Q 1Q ↔ (*Q ‘(1Q +Q 1Q)) <Q 1Q))
19		df-1p 3881	. . . . . . . 8 ⊢ 1P = {x∣x <Q 1Q}
20	17, 18, 19	elab2 1419	. . . . . . 7 ⊢ ((*Q ‘(1Q +Q 1Q)) ∈ 1P ↔ (*Q ‘(1Q +Q 1Q)) <Q 1Q)
21	16, 20	mpbir 165	. . . . . 6 ⊢ (*Q ‘(1Q +Q 1Q)) ∈ 1P
22		n0i 1712	. . . . . 6 ⊢ ((*Q ‘(1Q +Q 1Q)) ∈ 1P → ¬ 1P = ∅)
23	21, 22	ax-mp 6	. . . . 5 ⊢ ¬ 1P = ∅
24		0pss 1730	. . . . 5 ⊢ (∅ ⊂ 1P ↔ ¬ 1P = ∅)
25	23, 24	mpbir 165	. . . 4 ⊢ ∅ ⊂ 1P
26	19	cleqabi 1176	. . . . . . . 8 ⊢ (x ∈ 1P ↔ x <Q 1Q)
27		ltrelpq 3845	. . . . . . . . . 10 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)
28	3, 27	brel 2459	. . . . . . . . 9 ⊢ (x <Q 1Q → (x ∈ Q ∧ 1Q ∈ Q))
29	28	pm3.26d 258	. . . . . . . 8 ⊢ (x <Q 1Q → x ∈ Q)
30	26, 29	sylbi 174	. . . . . . 7 ⊢ (x ∈ 1P → x ∈ Q)
31	30	ssriv 1508	. . . . . 6 ⊢ 1P ⊆ Q
32		ltsopq 3869	. . . . . . . . 9 ⊢ <Q Or Q
33	3, 32, 27	soirri 2629	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ 1Q <Q 1Q
34		breq1 2065	. . . . . . . . 9 ⊢ (x = 1Q → (x <Q 1Q ↔ 1Q <Q 1Q))
35	3, 34, 19	elab2 1419	. . . . . . . 8 ⊢ (1Q ∈ 1P ↔ 1Q <Q 1Q)
36	33, 35	mtbir 167	. . . . . . 7 ⊢ ¬ 1Q ∈ 1P
37		eleq2 1150	. . . . . . . 8 ⊢ (1P = Q → (1Q ∈ 1P ↔ 1Q ∈ Q))
38	2, 37	mpbiri 169	. . . . . . 7 ⊢ (1P = Q → 1Q ∈ 1P)
39	36, 38	mto 93	. . . . . 6 ⊢ ¬ 1P = Q
40	31, 39	pm3.2i 234	. . . . 5 ⊢ (1P ⊆ Q ∧ ¬ 1P = Q)
41		dfpss2 1557	. . . . 5 ⊢ (1P ⊂ Q ↔ (1P ⊆ Q ∧ ¬ 1P = Q))
42	40, 41	mpbir 165	. . . 4 ⊢ 1P ⊂ Q
43	25, 42	pm3.2i 234	. . 3 ⊢ (∅ ⊂ 1P ∧ 1P ⊂ Q)
44		visset 1350	. . . . . . . . . 10 ⊢ y ∈ V
45		visset 1350	. . . . . . . . . 10 ⊢ x ∈ V
46	44, 32, 27, 45, 3	sotri 2630	. . . . . . . . 9 ⊢ ((y <Q x ∧ x <Q 1Q) → y <Q 1Q)
47	46	exp 291	. . . . . . . 8 ⊢ (y <Q x → (x <Q 1Q → y <Q 1Q))
48		df-1p 3881	. . . . . . . . 9 ⊢ 1P = {y∣y <Q 1Q}
49	48	cleqabi 1176	. . . . . . . 8 ⊢ (y ∈ 1P ↔ y <Q 1Q)
50	47, 26, 49	3imtr4g 426	. . . . . . 7 ⊢ (y <Q x → (x ∈ 1P → y ∈ 1P))
51	50	com12 13	. . . . . 6 ⊢ (x ∈ 1P → (y <Q x → y ∈ 1P))
52	51	19.21aiv 943	. . . . 5 ⊢ (x ∈ 1P → ∀y(y <Q x → y ∈ 1P))
53	45, 3	ltbtwnpq 3878	. . . . . . 7 ⊢ (x <Q 1Q → ∃y(x <Q y ∧ y <Q 1Q))
54	49	anbi1i 368	. . . . . . . . 9 ⊢ ((y ∈ 1P ∧ x <Q y) ↔ (y <Q 1Q ∧ x <Q y))
55		ancom 333	. . . . . . . . 9 ⊢ ((y <Q 1Q ∧ x <Q y) ↔ (x <Q y ∧ y <Q 1Q))
56	54, 55	bitr 151	. . . . . . . 8 ⊢ ((y ∈ 1P ∧ x <Q y) ↔ (x <Q y ∧ y <Q 1Q))
57	56	biex 733	. . . . . . 7 ⊢ (∃y(y ∈ 1P ∧ x <Q y) ↔ ∃y(x <Q y ∧ y <Q 1Q))
58	53, 26, 57	3imtr4 192	. . . . . 6 ⊢ (x ∈ 1P → ∃y(y ∈ 1P ∧ x <Q y))
59		df-rex 1206	. . . . . 6 ⊢ (∃y ∈ 1P x <Q y ↔ ∃y(y ∈ 1P ∧ x <Q y))
60	58, 59	sylibr 175	. . . . 5 ⊢ (x ∈ 1P → ∃y ∈ 1P x <Q y)
61	52, 60	jca 236	. . . 4 ⊢ (x ∈ 1P → (∀y(y <Q x → y ∈ 1P) ∧ ∃y ∈ 1P x <Q y))
62	61	rgen 1247	. . 3 ⊢ ∀x ∈ 1P (∀y(y <Q x → y ∈ 1P) ∧ ∃y ∈ 1P x <Q y)
63	43, 62	pm3.2i 234	. 2 ⊢ ((∅ ⊂ 1P ∧ 1P ⊂ Q) ∧ ∀x ∈ 1P (∀y(y <Q x → y ∈ 1P) ∧ ∃y ∈ 1P x <Q y))
64		elnp 3886	. 2 ⊢ (1P ∈ P ↔ ((∅ ⊂ 1P ∧ 1P ⊂ Q) ∧ ∀x ∈ 1P (∀y(y <Q x → y ∈ 1P) ∧ ∃y ∈ 1P x <Q y)))
65	63, 64	mpbir 165	1 ⊢ 1P ∈ P

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ∧ wa 196  ∀wal 672  ∃wex 678   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ∀wral 1201  ∃wrex 1202   ⊆ wss 1487   ⊂ wpss 1488  ∅c0 1707   class class class wbr 2054   ‘cfv 2422  (class class class)co 3001  Qcnq 3773  1_Qc1q 3774   +_Q cplq 3775   ·_Q cmq 3776  *_Qcrq 3777   <_Q cltq 3778  Pcnp 3779  1_Pc1p 3780

This theorem is referenced by:  1idpr 3927  recexpr 3954  gt0srpr 3981  0r 3983  1r 3984  m1r 3985  m1p1sr 3995  m1m1sr 3996  0lt1sr 3998  0idsr 4000  1idsr 4001  00sr 4002  recexsrlem 4006  mappsrpr 4012  ltpsrpr 4013  map2psrpr 4014

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881

metamath.org