Theorem 1q 3851

Description: The positive fraction 'one'.

Assertion

Ref	Expression
1q	⊢ 1Q ∈ Q

Proof of Theorem 1q

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1pi 3805	. . . 4 ⊢ 1o ∈ N
2		opelxpi 2455	. . . 4 ⊢ ((1o ∈ N ∧ 1o ∈ N) → ⟨1o, 1o⟩ ∈ (N × N))
3	1, 1, 2	mp2an 520	. . 3 ⊢ ⟨1o, 1o⟩ ∈ (N × N)
4		enqex 3842	. . . 4 ⊢ ~Q ∈ V
5	4	ecelqsi 3229	. . 3 ⊢ (⟨1o, 1o⟩ ∈ (N × N) → [⟨1o, 1o⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
6	3, 5	ax-mp 6	. 2 ⊢ [⟨1o, 1o⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q )
7		df-1q 3837	. . 3 ⊢ 1Q = [⟨1o, 1o⟩] ~Q
8		df-nq 3832	. . 3 ⊢ Q = ((N × N) / ~Q )
9	7, 8	eleq12i 1154	. 2 ⊢ (1Q ∈ Q ↔ [⟨1o, 1o⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
10	6, 9	mpbir 165	1 ⊢ 1Q ∈ Q

Syntax hints:   ∈ wcel 1092  ⟨cop 1810   × cxp 2408  1_oc1o 3099  [cec 3198   / cqs 3199  Ncnpi 3766   ~_Q ceq 3772  Qcnq 3773  1_Qc1q 3774

This theorem is referenced by:  recmulpq 3864  recclpq 3866  ltaddpq 3873  ltrpq 3879  1pr 3911  addclprlem1 3912  1idpr 3927  prlem934a 3931  prlem936 3949  reclem3pr 3952  reclem4pr 3953

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-1o 3104  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-enq 3831  df-nq 3832  df-1q 3837

metamath.org