Theorem 1r 3984

Description: The constant 1_R is a signed real.

Assertion

Ref	Expression
1r	⊢ 1R ∈ R

Proof of Theorem 1r

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1pr 3911	. . . . 5 ⊢ 1P ∈ P
2		addclpr 3914	. . . . 5 ⊢ ((1P ∈ P ∧ 1P ∈ P) → (1P +P 1P) ∈ P)
3	1, 1, 2	mp2an 520	. . . 4 ⊢ (1P +P 1P) ∈ P
4		opelxpi 2455	. . . 4 ⊢ (((1P +P 1P) ∈ P ∧ 1P ∈ P) → ⟨(1P +P 1P), 1P⟩ ∈ (P × P))
5	3, 1, 4	mp2an 520	. . 3 ⊢ ⟨(1P +P 1P), 1P⟩ ∈ (P × P)
6		enrex 3972	. . . 4 ⊢ ~R ∈ V
7	6	ecelqsi 3229	. . 3 ⊢ (⟨(1P +P 1P), 1P⟩ ∈ (P × P) → [⟨(1P +P 1P), 1P⟩] ~R ∈ ((P × P) / ~R ))
8	5, 7	ax-mp 6	. 2 ⊢ [⟨(1P +P 1P), 1P⟩] ~R ∈ ((P × P) / ~R )
9		df-1r 3966	. . 3 ⊢ 1R = [⟨(1P +P 1P), 1P⟩] ~R
10		df-nr 3961	. . 3 ⊢ R = ((P × P) / ~R )
11	9, 10	eleq12i 1154	. 2 ⊢ (1R ∈ R ↔ [⟨(1P +P 1P), 1P⟩] ~R ∈ ((P × P) / ~R ))
12	8, 11	mpbir 165	1 ⊢ 1R ∈ R

Syntax hints:   ∈ wcel 1092  ⟨cop 1810   × cxp 2408  (class class class)co 3001  [cec 3198   / cqs 3199  Pcnp 3779  1_Pc1p 3780   +_P cpp 3781   ~_R cer 3786  Rcnr 3787  1_Rc1r 3789

This theorem is referenced by:  1ne0sr 3999  pn0sr 4004  recexsrlem 4006  supsrlem5 4023  ax1re 4064  axicn 4065  ax1ne0 4075  ax1id 4077  axrecex 4079  axi2m1 4082  axcnre 4087

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-enr 3960  df-nr 3961  df-1r 3966

metamath.org