Theorem 2ecoptocl 3240

Description: Implicit substitution of classes for equivalence classes of ordered pairs.

Hypotheses

Ref	Expression
2ecoptocl.1	⊢ S = ((C × D) / R)
2ecoptocl.2	⊢ ([⟨x, y⟩]R = A → (φ ↔ ψ))
2ecoptocl.3	⊢ ([⟨z, w⟩]R = B → (ψ ↔ χ))
2ecoptocl.4	⊢ (((x ∈ C ∧ y ∈ D) ∧ (z ∈ C ∧ w ∈ D)) → φ)

Assertion

Ref	Expression
2ecoptocl	⊢ ((A ∈ S ∧ B ∈ S) → χ)

Distinct variable group(s):   x,y,z,w,A   z,B,w   x,C,y,z,w   x,D,y,z,w   z,S,w   x,R,y,z,w   ψ,x,y   χ,z,w

Proof of Theorem 2ecoptocl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2ecoptocl.1	. . . 4 ⊢ S = ((C × D) / R)
2		2ecoptocl.3	. . . . 5 ⊢ ([⟨z, w⟩]R = B → (ψ ↔ χ))
3	2	imbi2d 464	. . . 4 ⊢ ([⟨z, w⟩]R = B → ((A ∈ S → ψ) ↔ (A ∈ S → χ)))
4		2ecoptocl.2	. . . . . . 7 ⊢ ([⟨x, y⟩]R = A → (φ ↔ ψ))
5	4	imbi2d 464	. . . . . 6 ⊢ ([⟨x, y⟩]R = A → (((z ∈ C ∧ w ∈ D) → φ) ↔ ((z ∈ C ∧ w ∈ D) → ψ)))
6		2ecoptocl.4	. . . . . . 7 ⊢ (((x ∈ C ∧ y ∈ D) ∧ (z ∈ C ∧ w ∈ D)) → φ)
7	6	exp 291	. . . . . 6 ⊢ ((x ∈ C ∧ y ∈ D) → ((z ∈ C ∧ w ∈ D) → φ))
8	1, 5, 7	ecoptocl 3239	. . . . 5 ⊢ (A ∈ S → ((z ∈ C ∧ w ∈ D) → ψ))
9	8	com12 13	. . . 4 ⊢ ((z ∈ C ∧ w ∈ D) → (A ∈ S → ψ))
10	1, 3, 9	ecoptocl 3239	. . 3 ⊢ (B ∈ S → (A ∈ S → χ))
11	10	com12 13	. 2 ⊢ (A ∈ S → (B ∈ S → χ))
12	11	imp 277	1 ⊢ ((A ∈ S ∧ B ∈ S) → χ)

Syntax hints:   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ⟨cop 1810   × cxp 2408  [cec 3198   / cqs 3199

This theorem is referenced by:  3ecoptocl 3241  ecoprcom 3255  addclpq 3852  mulclpq 3854  ltexpq 3874  prlem934 3933  addclsr 3986  mulclsr 3987  mulgt0sr 4008

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-br 2063  df-opab 2098  df-xp 2424  df-cnv 2426  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-ec 3202  df-qs 3205

metamath.org