Theorem 2eu3 1069

Description: Double existential uniqueness.

Assertion

Ref	Expression
2eu3	⊢ (∀x∀y(∃*xφ ∨ ∃*yφ) → ((∃!x∃!yφ ∧ ∃!y∃!xφ) ↔ (∃!x∃yφ ∧ ∃!y∃xφ)))

Proof of Theorem 2eu3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hbmo1 1032	. . . . 5 ⊢ (∃*yφ → ∀y∃*yφ)
2	1	19.31 766	. . . 4 ⊢ (∀y(∃*xφ ∨ ∃*yφ) ↔ (∀y∃*xφ ∨ ∃*yφ))
3	2	bial 695	. . 3 ⊢ (∀x∀y(∃*xφ ∨ ∃*yφ) ↔ ∀x(∀y∃*xφ ∨ ∃*yφ))
4		hbmo1 1032	. . . . 5 ⊢ (∃*xφ → ∀x∃*xφ)
5	4	hbal 700	. . . 4 ⊢ (∀y∃*xφ → ∀x∀y∃*xφ)
6	5	19.32 765	. . 3 ⊢ (∀x(∀y∃*xφ ∨ ∃*yφ) ↔ (∀y∃*xφ ∨ ∀x∃*yφ))
7	3, 6	bitr 151	. 2 ⊢ (∀x∀y(∃*xφ ∨ ∃*yφ) ↔ (∀y∃*xφ ∨ ∀x∃*yφ))
8		2eu1 1067	. . . . . . 7 ⊢ (∀y∃*xφ → (∃!y∃!xφ ↔ (∃!y∃xφ ∧ ∃!x∃yφ)))
9	8	biimpd 135	. . . . . 6 ⊢ (∀y∃*xφ → (∃!y∃!xφ → (∃!y∃xφ ∧ ∃!x∃yφ)))
10		ancom 333	. . . . . 6 ⊢ ((∃!y∃xφ ∧ ∃!x∃yφ) ↔ (∃!x∃yφ ∧ ∃!y∃xφ))
11	9, 10	syl6ib 185	. . . . 5 ⊢ (∀y∃*xφ → (∃!y∃!xφ → (∃!x∃yφ ∧ ∃!y∃xφ)))
12	11	adantld 307	. . . 4 ⊢ (∀y∃*xφ → ((∃!x∃!yφ ∧ ∃!y∃!xφ) → (∃!x∃yφ ∧ ∃!y∃xφ)))
13		2eu1 1067	. . . . . 6 ⊢ (∀x∃*yφ → (∃!x∃!yφ ↔ (∃!x∃yφ ∧ ∃!y∃xφ)))
14	13	biimpd 135	. . . . 5 ⊢ (∀x∃*yφ → (∃!x∃!yφ → (∃!x∃yφ ∧ ∃!y∃xφ)))
15	14	adantrd 308	. . . 4 ⊢ (∀x∃*yφ → ((∃!x∃!yφ ∧ ∃!y∃!xφ) → (∃!x∃yφ ∧ ∃!y∃xφ)))
16	12, 15	jaoi 275	. . 3 ⊢ ((∀y∃*xφ ∨ ∀x∃*yφ) → ((∃!x∃!yφ ∧ ∃!y∃!xφ) → (∃!x∃yφ ∧ ∃!y∃xφ)))
17		2exeu 1066	. . . . 5 ⊢ ((∃!x∃yφ ∧ ∃!y∃xφ) → ∃!x∃!yφ)
18		2exeu 1066	. . . . . 6 ⊢ ((∃!y∃xφ ∧ ∃!x∃yφ) → ∃!y∃!xφ)
19	18	ancoms 334	. . . . 5 ⊢ ((∃!x∃yφ ∧ ∃!y∃xφ) → ∃!y∃!xφ)
20	17, 19	jca 236	. . . 4 ⊢ ((∃!x∃yφ ∧ ∃!y∃xφ) → (∃!x∃!yφ ∧ ∃!y∃!xφ))
21	20	a1i 7	. . 3 ⊢ ((∀y∃*xφ ∨ ∀x∃*yφ) → ((∃!x∃yφ ∧ ∃!y∃xφ) → (∃!x∃!yφ ∧ ∃!y∃!xφ)))
22	16, 21	impbid 397	. 2 ⊢ ((∀y∃*xφ ∨ ∀x∃*yφ) → ((∃!x∃!yφ ∧ ∃!y∃!xφ) ↔ (∃!x∃yφ ∧ ∃!y∃xφ)))
23	7, 22	sylbi 174	1 ⊢ (∀x∀y(∃*xφ ∨ ∃*yφ) → ((∃!x∃!yφ ∧ ∃!y∃!xφ) ↔ (∃!x∃yφ ∧ ∃!y∃xφ)))

Syntax hints:   → wi 2   ↔ wb 127   ∨ wo 195   ∧ wa 196  ∀wal 672  ∃wex 678  ∃!weu 1007  ∃*wmo 1008

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-16 922  ax-17 925

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010

metamath.org