Theorem 2exeu 1066

Description: Double existential uniqueness implies double uniqueness quantification.

Assertion

Ref	Expression
2exeu	⊢ ((∃!x∃yφ ∧ ∃!y∃xφ) → ∃!x∃!yφ)

Proof of Theorem 2exeu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hbe1 709	. . . . . . . 8 ⊢ (∃xφ → ∀x∃xφ)
2	1	hbmo 1033	. . . . . . 7 ⊢ (∃*y∃xφ → ∀x∃*y∃xφ)
3	2	19.41 774	. . . . . 6 ⊢ (∃x(∃yφ ∧ ∃*y∃xφ) ↔ (∃x∃yφ ∧ ∃*y∃xφ))
4		immo 1043	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀y(φ → ∃xφ) → (∃*y∃xφ → ∃*yφ))
5		19.8a 712	. . . . . . . . 9 ⊢ (φ → ∃xφ)
6	4, 5	mpg 684	. . . . . . . 8 ⊢ (∃*y∃xφ → ∃*yφ)
7	6	anim2i 270	. . . . . . 7 ⊢ ((∃yφ ∧ ∃*y∃xφ) → (∃yφ ∧ ∃*yφ))
8	7	19.22i 723	. . . . . 6 ⊢ (∃x(∃yφ ∧ ∃*y∃xφ) → ∃x(∃yφ ∧ ∃*yφ))
9	3, 8	sylbir 176	. . . . 5 ⊢ ((∃x∃yφ ∧ ∃*y∃xφ) → ∃x(∃yφ ∧ ∃*yφ))
10		excom 728	. . . . 5 ⊢ (∃y∃xφ ↔ ∃x∃yφ)
11	9, 10	sylanb 344	. . . 4 ⊢ ((∃y∃xφ ∧ ∃*y∃xφ) → ∃x(∃yφ ∧ ∃*yφ))
12		immo 1043	. . . . . 6 ⊢ (∀x((∃yφ ∧ ∃*yφ) → ∃yφ) → (∃*x∃yφ → ∃*x(∃yφ ∧ ∃*yφ)))
13		pm3.26 256	. . . . . 6 ⊢ ((∃yφ ∧ ∃*yφ) → ∃yφ)
14	12, 13	mpg 684	. . . . 5 ⊢ (∃*x∃yφ → ∃*x(∃yφ ∧ ∃*yφ))
15	14	adantl 305	. . . 4 ⊢ ((∃x∃yφ ∧ ∃*x∃yφ) → ∃*x(∃yφ ∧ ∃*yφ))
16	11, 15	anim12i 268	. . 3 ⊢ (((∃y∃xφ ∧ ∃*y∃xφ) ∧ (∃x∃yφ ∧ ∃*x∃yφ)) → (∃x(∃yφ ∧ ∃*yφ) ∧ ∃*x(∃yφ ∧ ∃*yφ)))
17	16	ancoms 334	. 2 ⊢ (((∃x∃yφ ∧ ∃*x∃yφ) ∧ (∃y∃xφ ∧ ∃*y∃xφ)) → (∃x(∃yφ ∧ ∃*yφ) ∧ ∃*x(∃yφ ∧ ∃*yφ)))
18		eu5 1035	. . 3 ⊢ (∃!x∃yφ ↔ (∃x∃yφ ∧ ∃*x∃yφ))
19		eu5 1035	. . 3 ⊢ (∃!y∃xφ ↔ (∃y∃xφ ∧ ∃*y∃xφ))
20	18, 19	anbi12i 369	. 2 ⊢ ((∃!x∃yφ ∧ ∃!y∃xφ) ↔ ((∃x∃yφ ∧ ∃*x∃yφ) ∧ (∃y∃xφ ∧ ∃*y∃xφ)))
21		eu5 1035	. . 3 ⊢ (∃!x∃!yφ ↔ (∃x∃!yφ ∧ ∃*x∃!yφ))
22		eu5 1035	. . . . 5 ⊢ (∃!yφ ↔ (∃yφ ∧ ∃*yφ))
23	22	biex 733	. . . 4 ⊢ (∃x∃!yφ ↔ ∃x(∃yφ ∧ ∃*yφ))
24	22	bimo 1031	. . . 4 ⊢ (∃*x∃!yφ ↔ ∃*x(∃yφ ∧ ∃*yφ))
25	23, 24	anbi12i 369	. . 3 ⊢ ((∃x∃!yφ ∧ ∃*x∃!yφ) ↔ (∃x(∃yφ ∧ ∃*yφ) ∧ ∃*x(∃yφ ∧ ∃*yφ)))
26	21, 25	bitr 151	. 2 ⊢ (∃!x∃!yφ ↔ (∃x(∃yφ ∧ ∃*yφ) ∧ ∃*x(∃yφ ∧ ∃*yφ)))
27	17, 20, 26	3imtr4 192	1 ⊢ ((∃!x∃yφ ∧ ∃!y∃xφ) → ∃!x∃!yφ)

Syntax hints:   → wi 2   ∧ wa 196  ∃wex 678  ∃!weu 1007  ∃*wmo 1008

This theorem is referenced by:  2eu1 1067  2eu2 1068  2eu3 1069

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-16 922  ax-17 925

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010

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