Theorem 2optocl 2470

Description: Implicit substitution of classes for ordered pairs.

Hypotheses

Ref	Expression
2optocl.1	⊢ R = (C × D)
2optocl.2	⊢ (⟨x, y⟩ = A → (φ ↔ ψ))
2optocl.3	⊢ (⟨z, w⟩ = B → (ψ ↔ χ))
2optocl.4	⊢ (((x ∈ C ∧ y ∈ D) ∧ (z ∈ C ∧ w ∈ D)) → φ)

Assertion

Ref	Expression
2optocl	⊢ ((A ∈ R ∧ B ∈ R) → χ)

Distinct variable group(s):   x,y,z,w,A   z,B,w   x,C,y,z,w   x,D,y,z,w   ψ,x,y   χ,z,w   z,R,w

Proof of Theorem 2optocl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2optocl.1	. . . 4 ⊢ R = (C × D)
2		2optocl.3	. . . . 5 ⊢ (⟨z, w⟩ = B → (ψ ↔ χ))
3	2	imbi2d 464	. . . 4 ⊢ (⟨z, w⟩ = B → ((A ∈ R → ψ) ↔ (A ∈ R → χ)))
4		2optocl.2	. . . . . . 7 ⊢ (⟨x, y⟩ = A → (φ ↔ ψ))
5	4	imbi2d 464	. . . . . 6 ⊢ (⟨x, y⟩ = A → (((z ∈ C ∧ w ∈ D) → φ) ↔ ((z ∈ C ∧ w ∈ D) → ψ)))
6		2optocl.4	. . . . . . 7 ⊢ (((x ∈ C ∧ y ∈ D) ∧ (z ∈ C ∧ w ∈ D)) → φ)
7	6	exp 291	. . . . . 6 ⊢ ((x ∈ C ∧ y ∈ D) → ((z ∈ C ∧ w ∈ D) → φ))
8	1, 5, 7	optocl 2469	. . . . 5 ⊢ (A ∈ R → ((z ∈ C ∧ w ∈ D) → ψ))
9	8	com12 13	. . . 4 ⊢ ((z ∈ C ∧ w ∈ D) → (A ∈ R → ψ))
10	1, 3, 9	optocl 2469	. . 3 ⊢ (B ∈ R → (A ∈ R → χ))
11	10	com12 13	. 2 ⊢ (A ∈ R → (B ∈ R → χ))
12	11	imp 277	1 ⊢ ((A ∈ R ∧ B ∈ R) → χ)

Syntax hints:   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ⟨cop 1810   × cxp 2408

This theorem is referenced by:  3optocl 2471  ecopoprsym 3246  th3qlem2 3251  axaddcl 4066  axmulcl 4068

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-opab 2098  df-xp 2424

metamath.org