Theorem 2reuswap 1341

Description: A condition allowing swap of uniqueness and existential quantifiers.

Assertion

Ref	Expression
2reuswap	⊢ (∀x ∈ A ∃*y(y ∈ A ∧ φ) → (∃!x ∈ A ∃y ∈ A φ → ∃!y ∈ A ∃x ∈ A φ))

Distinct variable group(s):   x,y,A

Proof of Theorem 2reuswap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ral 1205	. . 3 ⊢ (∀x ∈ A ∃*y(y ∈ A ∧ φ) ↔ ∀x(x ∈ A → ∃*y(y ∈ A ∧ φ)))
2		moanimv 1052	. . . 4 ⊢ (∃*y(x ∈ A ∧ (y ∈ A ∧ φ)) ↔ (x ∈ A → ∃*y(y ∈ A ∧ φ)))
3	2	bial 695	. . 3 ⊢ (∀x∃*y(x ∈ A ∧ (y ∈ A ∧ φ)) ↔ ∀x(x ∈ A → ∃*y(y ∈ A ∧ φ)))
4	1, 3	bitr4 154	. 2 ⊢ (∀x ∈ A ∃*y(y ∈ A ∧ φ) ↔ ∀x∃*y(x ∈ A ∧ (y ∈ A ∧ φ)))
5		2euswap 1065	. . 3 ⊢ (∀x∃*y(x ∈ A ∧ (y ∈ A ∧ φ)) → (∃!x∃y(x ∈ A ∧ (y ∈ A ∧ φ)) → ∃!y∃x(x ∈ A ∧ (y ∈ A ∧ φ))))
6		df-reu 1207	. . . 4 ⊢ (∃!x ∈ A ∃y ∈ A φ ↔ ∃!x(x ∈ A ∧ ∃y ∈ A φ))
7		df-rex 1206	. . . . . 6 ⊢ (∃y ∈ A (x ∈ A ∧ φ) ↔ ∃y(y ∈ A ∧ (x ∈ A ∧ φ)))
8		r19.42v 1303	. . . . . 6 ⊢ (∃y ∈ A (x ∈ A ∧ φ) ↔ (x ∈ A ∧ ∃y ∈ A φ))
9		an12 370	. . . . . . 7 ⊢ ((y ∈ A ∧ (x ∈ A ∧ φ)) ↔ (x ∈ A ∧ (y ∈ A ∧ φ)))
10	9	biex 733	. . . . . 6 ⊢ (∃y(y ∈ A ∧ (x ∈ A ∧ φ)) ↔ ∃y(x ∈ A ∧ (y ∈ A ∧ φ)))
11	7, 8, 10	3bitr3 156	. . . . 5 ⊢ ((x ∈ A ∧ ∃y ∈ A φ) ↔ ∃y(x ∈ A ∧ (y ∈ A ∧ φ)))
12	11	bieu 1014	. . . 4 ⊢ (∃!x(x ∈ A ∧ ∃y ∈ A φ) ↔ ∃!x∃y(x ∈ A ∧ (y ∈ A ∧ φ)))
13	6, 12	bitr 151	. . 3 ⊢ (∃!x ∈ A ∃y ∈ A φ ↔ ∃!x∃y(x ∈ A ∧ (y ∈ A ∧ φ)))
14		df-reu 1207	. . . 4 ⊢ (∃!y ∈ A ∃x ∈ A φ ↔ ∃!y(y ∈ A ∧ ∃x ∈ A φ))
15		r19.42v 1303	. . . . . 6 ⊢ (∃x ∈ A (y ∈ A ∧ φ) ↔ (y ∈ A ∧ ∃x ∈ A φ))
16		df-rex 1206	. . . . . 6 ⊢ (∃x ∈ A (y ∈ A ∧ φ) ↔ ∃x(x ∈ A ∧ (y ∈ A ∧ φ)))
17	15, 16	bitr3 153	. . . . 5 ⊢ ((y ∈ A ∧ ∃x ∈ A φ) ↔ ∃x(x ∈ A ∧ (y ∈ A ∧ φ)))
18	17	bieu 1014	. . . 4 ⊢ (∃!y(y ∈ A ∧ ∃x ∈ A φ) ↔ ∃!y∃x(x ∈ A ∧ (y ∈ A ∧ φ)))
19	14, 18	bitr 151	. . 3 ⊢ (∃!y ∈ A ∃x ∈ A φ ↔ ∃!y∃x(x ∈ A ∧ (y ∈ A ∧ φ)))
20	5, 13, 19	3imtr4g 426	. 2 ⊢ (∀x∃*y(x ∈ A ∧ (y ∈ A ∧ φ)) → (∃!x ∈ A ∃y ∈ A φ → ∃!y ∈ A ∃x ∈ A φ))
21	4, 20	sylbi 174	1 ⊢ (∀x ∈ A ∃*y(y ∈ A ∧ φ) → (∃!x ∈ A ∃y ∈ A φ → ∃!y ∈ A ∃x ∈ A φ))

Syntax hints:   → wi 2   ∧ wa 196  ∀wal 672  ∃wex 678  ∃!weu 1007  ∃*wmo 1008   ∈ wcel 1092  ∀wral 1201  ∃wrex 1202  ∃!wreu 1203

This theorem is referenced by:  reuxfr2 1579

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-16 922  ax-17 925

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207

metamath.org