Theorem 3ecoptocl 3241

Description: Implicit substitution of classes for equivalence classes of ordered pairs.

Hypotheses

Ref	Expression
3ecoptocl.1	⊢ S = ((D × D) / R)
3ecoptocl.2	⊢ ([⟨x, y⟩]R = A → (φ ↔ ψ))
3ecoptocl.3	⊢ ([⟨z, w⟩]R = B → (ψ ↔ χ))
3ecoptocl.4	⊢ ([⟨v, u⟩]R = C → (χ ↔ θ))
3ecoptocl.5	⊢ (((x ∈ D ∧ y ∈ D) ∧ (z ∈ D ∧ w ∈ D) ∧ (v ∈ D ∧ u ∈ D)) → φ)

Assertion

Ref	Expression
3ecoptocl	⊢ ((A ∈ S ∧ B ∈ S ∧ C ∈ S) → θ)

Distinct variable group(s):   x,y,z,w,v,u,A   z,B,w,v,u   v,C,u   x,D,y,z,w,v,u   z,S,w,v,u   x,R,y,z,w,v,u   ψ,x,y   χ,z,w   θ,v,u

Proof of Theorem 3ecoptocl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3ecoptocl.1	. . . . 5 ⊢ S = ((D × D) / R)
2		3ecoptocl.3	. . . . . 6 ⊢ ([⟨z, w⟩]R = B → (ψ ↔ χ))
3	2	imbi2d 464	. . . . 5 ⊢ ([⟨z, w⟩]R = B → ((A ∈ S → ψ) ↔ (A ∈ S → χ)))
4		3ecoptocl.4	. . . . . 6 ⊢ ([⟨v, u⟩]R = C → (χ ↔ θ))
5	4	imbi2d 464	. . . . 5 ⊢ ([⟨v, u⟩]R = C → ((A ∈ S → χ) ↔ (A ∈ S → θ)))
6		3ecoptocl.2	. . . . . . . 8 ⊢ ([⟨x, y⟩]R = A → (φ ↔ ψ))
7	6	imbi2d 464	. . . . . . 7 ⊢ ([⟨x, y⟩]R = A → ((((z ∈ D ∧ w ∈ D) ∧ (v ∈ D ∧ u ∈ D)) → φ) ↔ (((z ∈ D ∧ w ∈ D) ∧ (v ∈ D ∧ u ∈ D)) → ψ)))
8		3ecoptocl.5	. . . . . . . . 9 ⊢ (((x ∈ D ∧ y ∈ D) ∧ (z ∈ D ∧ w ∈ D) ∧ (v ∈ D ∧ u ∈ D)) → φ)
9	8	3exp 611	. . . . . . . 8 ⊢ ((x ∈ D ∧ y ∈ D) → ((z ∈ D ∧ w ∈ D) → ((v ∈ D ∧ u ∈ D) → φ)))
10	9	imp3a 279	. . . . . . 7 ⊢ ((x ∈ D ∧ y ∈ D) → (((z ∈ D ∧ w ∈ D) ∧ (v ∈ D ∧ u ∈ D)) → φ))
11	1, 7, 10	ecoptocl 3239	. . . . . 6 ⊢ (A ∈ S → (((z ∈ D ∧ w ∈ D) ∧ (v ∈ D ∧ u ∈ D)) → ψ))
12	11	com12 13	. . . . 5 ⊢ (((z ∈ D ∧ w ∈ D) ∧ (v ∈ D ∧ u ∈ D)) → (A ∈ S → ψ))
13	1, 3, 5, 12	2ecoptocl 3240	. . . 4 ⊢ ((B ∈ S ∧ C ∈ S) → (A ∈ S → θ))
14	13	com12 13	. . 3 ⊢ (A ∈ S → ((B ∈ S ∧ C ∈ S) → θ))
15	14	exp3a 292	. 2 ⊢ (A ∈ S → (B ∈ S → (C ∈ S → θ)))
16	15	3imp 608	1 ⊢ ((A ∈ S ∧ B ∈ S ∧ C ∈ S) → θ)

Syntax hints:   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196   ∧ w3a 581   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ⟨cop 1810   × cxp 2408  [cec 3198   / cqs 3199

This theorem is referenced by:  ecoprass 3256  ecoprdi 3257  ltsopq 3869  ltapq 3870  ltmpq 3871  ltsosr 3997  ltasr 4003

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-br 2063  df-opab 2098  df-xp 2424  df-cnv 2426  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-ec 3202  df-qs 3205

metamath.org