Theorem 3oalem1 5552

Description: Lemma for 3OA (weak) orthoarguesian law.

Hypotheses

Ref	Expression
3oalem1.1	⊢ B ∈ Cℋ
3oalem1.2	⊢ C ∈ Cℋ
3oalem1.3	⊢ R ∈ Cℋ
3oalem1.4	⊢ S ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
3oalem1	⊢ ((((x ∈ B ∧ y ∈ R) ∧ v = (x +v y)) ∧ ((z ∈ C ∧ w ∈ S) ∧ v = (z +v w))) → (((x ∈ ℋ ∧ y ∈ ℋ ) ∧ v ∈ ℋ ) ∧ (z ∈ ℋ ∧ w ∈ ℋ )))

Distinct variable group(s):   x,y,z,w,v,B   x,C,y,z,w,v   x,R,y,z,w,v   x,S,y,z,w,v

Proof of Theorem 3oalem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 1149	. . . . . 6 ⊢ (v = (x +v y) → (v ∈ ℋ ↔ (x +v y) ∈ ℋ ))
2		ax-hvaddcl 4984	. . . . . 6 ⊢ ((x ∈ ℋ ∧ y ∈ ℋ ) → (x +v y) ∈ ℋ )
3	1, 2	syl5bir 184	. . . . 5 ⊢ (v = (x +v y) → ((x ∈ ℋ ∧ y ∈ ℋ ) → v ∈ ℋ ))
4	3	com12 13	. . . 4 ⊢ ((x ∈ ℋ ∧ y ∈ ℋ ) → (v = (x +v y) → v ∈ ℋ ))
5	4	imdistani 340	. . 3 ⊢ (((x ∈ ℋ ∧ y ∈ ℋ ) ∧ v = (x +v y)) → ((x ∈ ℋ ∧ y ∈ ℋ ) ∧ v ∈ ℋ ))
6		3oalem1.1	. . . . 5 ⊢ B ∈ Cℋ
7	6	chel 5137	. . . 4 ⊢ (x ∈ B → x ∈ ℋ )
8		3oalem1.3	. . . . 5 ⊢ R ∈ Cℋ
9	8	chel 5137	. . . 4 ⊢ (y ∈ R → y ∈ ℋ )
10	7, 9	anim12i 268	. . 3 ⊢ ((x ∈ B ∧ y ∈ R) → (x ∈ ℋ ∧ y ∈ ℋ ))
11	5, 10	sylan 343	. 2 ⊢ (((x ∈ B ∧ y ∈ R) ∧ v = (x +v y)) → ((x ∈ ℋ ∧ y ∈ ℋ ) ∧ v ∈ ℋ ))
12		3oalem1.2	. . . . 5 ⊢ C ∈ Cℋ
13	12	chel 5137	. . . 4 ⊢ (z ∈ C → z ∈ ℋ )
14		3oalem1.4	. . . . 5 ⊢ S ∈ Cℋ
15	14	chel 5137	. . . 4 ⊢ (w ∈ S → w ∈ ℋ )
16	13, 15	anim12i 268	. . 3 ⊢ ((z ∈ C ∧ w ∈ S) → (z ∈ ℋ ∧ w ∈ ℋ ))
17	16	adantr 306	. 2 ⊢ (((z ∈ C ∧ w ∈ S) ∧ v = (z +v w)) → (z ∈ ℋ ∧ w ∈ ℋ ))
18	11, 17	anim12i 268	1 ⊢ ((((x ∈ B ∧ y ∈ R) ∧ v = (x +v y)) ∧ ((z ∈ C ∧ w ∈ S) ∧ v = (z +v w))) → (((x ∈ ℋ ∧ y ∈ ℋ ) ∧ v ∈ ℋ ) ∧ (z ∈ ℋ ∧ w ∈ ℋ )))

Syntax hints:   → wi 2   ∧ wa 196   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  (class class class)co 3001   ℋ chil 4958   +_v cva 4959   C_ℋ cch 4968

This theorem is referenced by:  3oalem2 5553

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-hilex 4983  ax-hvaddcl 4984

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-v 1349  df-in 1491  df-ss 1492  df-sh 5114  df-ch 5127

metamath.org