Theorem 3oalem6 5557

Description: Lemma for 3OA (weak) orthoarguesian law.

Hypotheses

Ref	Expression
3oa.1	⊢ A ∈ Cℋ
3oa.2	⊢ B ∈ Cℋ
3oa.3	⊢ C ∈ Cℋ
3oa.4	⊢ R = ((⊥ ‘B) ∩ (B ∨ℋ A))
3oa.5	⊢ S = ((⊥ ‘C) ∩ (C ∨ℋ A))

Assertion

Ref	Expression
3oalem6	⊢ (B +ℋ (R ∩ (S +ℋ ((B +ℋ C) ∩ (R +ℋ S))))) ⊆ (B ∨ℋ (R ∩ (S ∨ℋ ((B ∨ℋ C) ∩ (R ∨ℋ S)))))

Proof of Theorem 3oalem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3oa.2	. . . 4 ⊢ B ∈ Cℋ
2	1	chshi 5132	. . 3 ⊢ B ∈ Sℋ
3		3oa.4	. . . . . 6 ⊢ R = ((⊥ ‘B) ∩ (B ∨ℋ A))
4	1	chocl 5192	. . . . . . 7 ⊢ (⊥ ‘B) ∈ Cℋ
5		3oa.1	. . . . . . . 8 ⊢ A ∈ Cℋ
6	1, 5	chjcl 5379	. . . . . . 7 ⊢ (B ∨ℋ A) ∈ Cℋ
7	4, 6	chincl 5382	. . . . . 6 ⊢ ((⊥ ‘B) ∩ (B ∨ℋ A)) ∈ Cℋ
8	3, 7	eqeltr 1159	. . . . 5 ⊢ R ∈ Cℋ
9	8	chshi 5132	. . . 4 ⊢ R ∈ Sℋ
10		3oa.5	. . . . . . 7 ⊢ S = ((⊥ ‘C) ∩ (C ∨ℋ A))
11		3oa.3	. . . . . . . . 9 ⊢ C ∈ Cℋ
12	11	chocl 5192	. . . . . . . 8 ⊢ (⊥ ‘C) ∈ Cℋ
13	11, 5	chjcl 5379	. . . . . . . 8 ⊢ (C ∨ℋ A) ∈ Cℋ
14	12, 13	chincl 5382	. . . . . . 7 ⊢ ((⊥ ‘C) ∩ (C ∨ℋ A)) ∈ Cℋ
15	10, 14	eqeltr 1159	. . . . . 6 ⊢ S ∈ Cℋ
16	15	chshi 5132	. . . . 5 ⊢ S ∈ Sℋ
17	11	chshi 5132	. . . . . . 7 ⊢ C ∈ Sℋ
18	2, 17	shscl 5282	. . . . . 6 ⊢ (B +ℋ C) ∈ Sℋ
19	9, 16	shscl 5282	. . . . . 6 ⊢ (R +ℋ S) ∈ Sℋ
20	18, 19	shincl 5332	. . . . 5 ⊢ ((B +ℋ C) ∩ (R +ℋ S)) ∈ Sℋ
21	16, 20	shscl 5282	. . . 4 ⊢ (S +ℋ ((B +ℋ C) ∩ (R +ℋ S))) ∈ Sℋ
22	9, 21	shincl 5332	. . 3 ⊢ (R ∩ (S +ℋ ((B +ℋ C) ∩ (R +ℋ S)))) ∈ Sℋ
23	2, 22	shslej 5339	. 2 ⊢ (B +ℋ (R ∩ (S +ℋ ((B +ℋ C) ∩ (R +ℋ S))))) ⊆ (B ∨ℋ (R ∩ (S +ℋ ((B +ℋ C) ∩ (R +ℋ S)))))
24	16, 20	shslej 5339	. . . . 5 ⊢ (S +ℋ ((B +ℋ C) ∩ (R +ℋ S))) ⊆ (S ∨ℋ ((B +ℋ C) ∩ (R +ℋ S)))
25	1, 11	chslej 5380	. . . . . . . 8 ⊢ (B +ℋ C) ⊆ (B ∨ℋ C)
26		ssrin 1661	. . . . . . . 8 ⊢ ((B +ℋ C) ⊆ (B ∨ℋ C) → ((B +ℋ C) ∩ (R +ℋ S)) ⊆ ((B ∨ℋ C) ∩ (R +ℋ S)))
27	25, 26	ax-mp 6	. . . . . . 7 ⊢ ((B +ℋ C) ∩ (R +ℋ S)) ⊆ ((B ∨ℋ C) ∩ (R +ℋ S))
28	8, 15	chslej 5380	. . . . . . . 8 ⊢ (R +ℋ S) ⊆ (R ∨ℋ S)
29		sslin 1662	. . . . . . . 8 ⊢ ((R +ℋ S) ⊆ (R ∨ℋ S) → ((B ∨ℋ C) ∩ (R +ℋ S)) ⊆ ((B ∨ℋ C) ∩ (R ∨ℋ S)))
30	28, 29	ax-mp 6	. . . . . . 7 ⊢ ((B ∨ℋ C) ∩ (R +ℋ S)) ⊆ ((B ∨ℋ C) ∩ (R ∨ℋ S))
31	27, 30	sstri 1512	. . . . . 6 ⊢ ((B +ℋ C) ∩ (R +ℋ S)) ⊆ ((B ∨ℋ C) ∩ (R ∨ℋ S))
32	1, 11	chjcl 5379	. . . . . . . . 9 ⊢ (B ∨ℋ C) ∈ Cℋ
33	8, 15	chjcl 5379	. . . . . . . . 9 ⊢ (R ∨ℋ S) ∈ Cℋ
34	32, 33	chincl 5382	. . . . . . . 8 ⊢ ((B ∨ℋ C) ∩ (R ∨ℋ S)) ∈ Cℋ
35	34	chshi 5132	. . . . . . 7 ⊢ ((B ∨ℋ C) ∩ (R ∨ℋ S)) ∈ Sℋ
36	20, 35, 16	shlej2 5350	. . . . . 6 ⊢ (((B +ℋ C) ∩ (R +ℋ S)) ⊆ ((B ∨ℋ C) ∩ (R ∨ℋ S)) → (S ∨ℋ ((B +ℋ C) ∩ (R +ℋ S))) ⊆ (S ∨ℋ ((B ∨ℋ C) ∩ (R ∨ℋ S))))
37	31, 36	ax-mp 6	. . . . 5 ⊢ (S ∨ℋ ((B +ℋ C) ∩ (R +ℋ S))) ⊆ (S ∨ℋ ((B ∨ℋ C) ∩ (R ∨ℋ S)))
38	24, 37	sstri 1512	. . . 4 ⊢ (S +ℋ ((B +ℋ C) ∩ (R +ℋ S))) ⊆ (S ∨ℋ ((B ∨ℋ C) ∩ (R ∨ℋ S)))
39		sslin 1662	. . . 4 ⊢ ((S +ℋ ((B +ℋ C) ∩ (R +ℋ S))) ⊆ (S ∨ℋ ((B ∨ℋ C) ∩ (R ∨ℋ S))) → (R ∩ (S +ℋ ((B +ℋ C) ∩ (R +ℋ S)))) ⊆ (R ∩ (S ∨ℋ ((B ∨ℋ C) ∩ (R ∨ℋ S)))))
40	38, 39	ax-mp 6	. . 3 ⊢ (R ∩ (S +ℋ ((B +ℋ C) ∩ (R +ℋ S)))) ⊆ (R ∩ (S ∨ℋ ((B ∨ℋ C) ∩ (R ∨ℋ S))))
41	15, 34	chjcl 5379	. . . . . 6 ⊢ (S ∨ℋ ((B ∨ℋ C) ∩ (R ∨ℋ S))) ∈ Cℋ
42	8, 41	chincl 5382	. . . . 5 ⊢ (R ∩ (S ∨ℋ ((B ∨ℋ C) ∩ (R ∨ℋ S)))) ∈ Cℋ
43	42	chshi 5132	. . . 4 ⊢ (R ∩ (S ∨ℋ ((B ∨ℋ C) ∩ (R ∨ℋ S)))) ∈ Sℋ
44	22, 43, 2	shlej2 5350	. . 3 ⊢ ((R ∩ (S +ℋ ((B +ℋ C) ∩ (R +ℋ S)))) ⊆ (R ∩ (S ∨ℋ ((B ∨ℋ C) ∩ (R ∨ℋ S)))) → (B ∨ℋ (R ∩ (S +ℋ ((B +ℋ C) ∩ (R +ℋ S))))) ⊆ (B ∨ℋ (R ∩ (S ∨ℋ ((B ∨ℋ C) ∩ (R ∨ℋ S))))))
45	40, 44	ax-mp 6	. 2 ⊢ (B ∨ℋ (R ∩ (S +ℋ ((B +ℋ C) ∩ (R +ℋ S))))) ⊆ (B ∨ℋ (R ∩ (S ∨ℋ ((B ∨ℋ C) ∩ (R ∨ℋ S)))))
46	23, 45	sstri 1512	1 ⊢ (B +ℋ (R ∩ (S +ℋ ((B +ℋ C) ∩ (R +ℋ S))))) ⊆ (B ∨ℋ (R ∩ (S ∨ℋ ((B ∨ℋ C) ∩ (R ∨ℋ S)))))

Syntax hints:   = wceq 1091   ∈ wcel 1092   ∩ cin 1486   ⊆ wss 1487   ‘cfv 2422  (class class class)co 3001   C_ℋ cch 4968  ⊥cort 4969   +_ℋ cph 4970   ∨_ℋ chj 4972

This theorem is referenced by:  3oa 5558

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079  ax-ac 1080  ax-hilex 4983  ax-hvaddcl 4984  ax-hvcom 4985  ax-hvass 4986  ax-hvzercl 4987  ax-hvaddid 4988  ax-hvmulcl 4989  ax-hvmulid 4991  ax-hvmulass 4992  ax-hvdistr1 4993  ax-hvdistr2 4994  ax-hvmulzer 4995  ax-hicl 5043  ax-his1 5045  ax-his2 5046  ax-his3 5047  ax-his4 5048  ax-hcompl 5113

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-sup 2154  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1st 3087  df-2nd 3088  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-i 4037  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-div 4216  df-le 4277  df-n 4423  df-2 4462  df-3 4463  df-4 4464  df-n0 4535  df-z 4564  df-seq 4661  df-exp 4676  df-sqr 4728  df-re 4790  df-im 4791  df-cj 4792  df-abs 4793  df-clim 4876  df-hvsub 4996  df-hnorm 5074  df-cauchy 5102  df-hlim 5107  df-sh 5114  df-ch 5127  df-oc 5156  df-ch0 5157  df-pj 5244  df-shsum 5275  df-chj 5277

metamath.org