Theorem 4exdistr 971

Description: Distribution of existential quantifiers.

Assertion

Ref	Expression
4exdistr	⊢ (∃x∃y∃z∃w((φ ∧ ψ) ∧ (χ ∧ θ)) ↔ ∃x(φ ∧ ∃y(ψ ∧ ∃z(χ ∧ ∃wθ))))

Distinct variable group(s):   φ,y   φ,z   φ,w   ψ,z   ψ,w   χ,w

Proof of Theorem 4exdistr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		anass 336	. . . . . . . 8 ⊢ (((φ ∧ ψ) ∧ (χ ∧ θ)) ↔ (φ ∧ (ψ ∧ (χ ∧ θ))))
2	1	biex 733	. . . . . . 7 ⊢ (∃w((φ ∧ ψ) ∧ (χ ∧ θ)) ↔ ∃w(φ ∧ (ψ ∧ (χ ∧ θ))))
3		19.42v 966	. . . . . . . 8 ⊢ (∃w(φ ∧ (ψ ∧ (χ ∧ θ))) ↔ (φ ∧ ∃w(ψ ∧ (χ ∧ θ))))
4		19.42v 966	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃w(ψ ∧ (χ ∧ θ)) ↔ (ψ ∧ ∃w(χ ∧ θ)))
5	4	anbi2i 367	. . . . . . . 8 ⊢ ((φ ∧ ∃w(ψ ∧ (χ ∧ θ))) ↔ (φ ∧ (ψ ∧ ∃w(χ ∧ θ))))
6		19.42v 966	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃w(χ ∧ θ) ↔ (χ ∧ ∃wθ))
7	6	anbi2i 367	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ψ ∧ ∃w(χ ∧ θ)) ↔ (ψ ∧ (χ ∧ ∃wθ)))
8	7	anbi2i 367	. . . . . . . 8 ⊢ ((φ ∧ (ψ ∧ ∃w(χ ∧ θ))) ↔ (φ ∧ (ψ ∧ (χ ∧ ∃wθ))))
9	3, 5, 8	3bitr 155	. . . . . . 7 ⊢ (∃w(φ ∧ (ψ ∧ (χ ∧ θ))) ↔ (φ ∧ (ψ ∧ (χ ∧ ∃wθ))))
10	2, 9	bitr 151	. . . . . 6 ⊢ (∃w((φ ∧ ψ) ∧ (χ ∧ θ)) ↔ (φ ∧ (ψ ∧ (χ ∧ ∃wθ))))
11	10	biex 733	. . . . 5 ⊢ (∃z∃w((φ ∧ ψ) ∧ (χ ∧ θ)) ↔ ∃z(φ ∧ (ψ ∧ (χ ∧ ∃wθ))))
12		19.42v 966	. . . . 5 ⊢ (∃z(φ ∧ (ψ ∧ (χ ∧ ∃wθ))) ↔ (φ ∧ ∃z(ψ ∧ (χ ∧ ∃wθ))))
13		19.42v 966	. . . . . 6 ⊢ (∃z(ψ ∧ (χ ∧ ∃wθ)) ↔ (ψ ∧ ∃z(χ ∧ ∃wθ)))
14	13	anbi2i 367	. . . . 5 ⊢ ((φ ∧ ∃z(ψ ∧ (χ ∧ ∃wθ))) ↔ (φ ∧ (ψ ∧ ∃z(χ ∧ ∃wθ))))
15	11, 12, 14	3bitr 155	. . . 4 ⊢ (∃z∃w((φ ∧ ψ) ∧ (χ ∧ θ)) ↔ (φ ∧ (ψ ∧ ∃z(χ ∧ ∃wθ))))
16	15	biex 733	. . 3 ⊢ (∃y∃z∃w((φ ∧ ψ) ∧ (χ ∧ θ)) ↔ ∃y(φ ∧ (ψ ∧ ∃z(χ ∧ ∃wθ))))
17		19.42v 966	. . 3 ⊢ (∃y(φ ∧ (ψ ∧ ∃z(χ ∧ ∃wθ))) ↔ (φ ∧ ∃y(ψ ∧ ∃z(χ ∧ ∃wθ))))
18	16, 17	bitr 151	. 2 ⊢ (∃y∃z∃w((φ ∧ ψ) ∧ (χ ∧ θ)) ↔ (φ ∧ ∃y(ψ ∧ ∃z(χ ∧ ∃wθ))))
19	18	biex 733	1 ⊢ (∃x∃y∃z∃w((φ ∧ ψ) ∧ (χ ∧ θ)) ↔ ∃x(φ ∧ ∃y(ψ ∧ ∃z(χ ∧ ∃wθ))))

Syntax hints:   ↔ wb 127   ∧ wa 196  ∃wex 678

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-gen 677  ax-17 925

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679

metamath.org