Theorem 5oalem1 5544

Description: Lemma for orthoarguesian law 5OA.

Hypotheses

Ref	Expression
5oalem1.1	⊢ A ∈ Sℋ
5oalem1.2	⊢ B ∈ Sℋ
5oalem1.3	⊢ C ∈ Sℋ
5oalem1.4	⊢ R ∈ Sℋ

Assertion

Ref	Expression
5oalem1	⊢ ((((x ∈ A ∧ y ∈ B) ∧ v = (x +v y)) ∧ (z ∈ C ∧ (x −v z) ∈ R)) → v ∈ (B +ℋ (A ∩ (C +ℋ R))))

Proof of Theorem 5oalem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5oalem1.1	. . . . . 6 ⊢ A ∈ Sℋ
2		5oalem1.3	. . . . . . 7 ⊢ C ∈ Sℋ
3		5oalem1.4	. . . . . . 7 ⊢ R ∈ Sℋ
4	2, 3	shscl 5282	. . . . . 6 ⊢ (C +ℋ R) ∈ Sℋ
5	1, 4	shincl 5332	. . . . 5 ⊢ (A ∩ (C +ℋ R)) ∈ Sℋ
6		5oalem1.2	. . . . 5 ⊢ B ∈ Sℋ
7	5, 6	shsva 5334	. . . 4 ⊢ ((x ∈ (A ∩ (C +ℋ R)) ∧ y ∈ B) → (x +v y) ∈ ((A ∩ (C +ℋ R)) +ℋ B))
8	5, 6	shscom 5333	. . . . 5 ⊢ ((A ∩ (C +ℋ R)) +ℋ B) = (B +ℋ (A ∩ (C +ℋ R)))
9	8	eleq2i 1153	. . . 4 ⊢ ((x +v y) ∈ ((A ∩ (C +ℋ R)) +ℋ B) ↔ (x +v y) ∈ (B +ℋ (A ∩ (C +ℋ R))))
10	7, 9	sylib 173	. . 3 ⊢ ((x ∈ (A ∩ (C +ℋ R)) ∧ y ∈ B) → (x +v y) ∈ (B +ℋ (A ∩ (C +ℋ R))))
11		pm3.26 256	. . . . . 6 ⊢ ((x ∈ A ∧ y ∈ B) → x ∈ A)
12	11	ad2antll 320	. . . . 5 ⊢ ((((x ∈ A ∧ y ∈ B) ∧ v = (x +v y)) ∧ (z ∈ C ∧ (x −v z) ∈ R)) → x ∈ A)
13		hvaddsub12t 5015	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((x ∈ ℋ ∧ z ∈ ℋ ∧ z ∈ ℋ ) → (x +v (z −v z)) = (z +v (x −v z)))
14	13	3expb 613	. . . . . . . . 9 ⊢ ((x ∈ ℋ ∧ (z ∈ ℋ ∧ z ∈ ℋ )) → (x +v (z −v z)) = (z +v (x −v z)))
15	14	anabsan2 387	. . . . . . . 8 ⊢ ((x ∈ ℋ ∧ z ∈ ℋ ) → (x +v (z −v z)) = (z +v (x −v z)))
16		hvsubidt 5005	. . . . . . . . . 10 ⊢ (z ∈ ℋ → (z −v z) = 0v)
17	16	opreq2d 3013	. . . . . . . . 9 ⊢ (z ∈ ℋ → (x +v (z −v z)) = (x +v 0v))
18		ax-hvaddid 4988	. . . . . . . . 9 ⊢ (x ∈ ℋ → (x +v 0v) = x)
19	17, 18	sylan9eqr 1145	. . . . . . . 8 ⊢ ((x ∈ ℋ ∧ z ∈ ℋ ) → (x +v (z −v z)) = x)
20	15, 19	eqtr3d 1130	. . . . . . 7 ⊢ ((x ∈ ℋ ∧ z ∈ ℋ ) → (z +v (x −v z)) = x)
21	1	shel 5120	. . . . . . . 8 ⊢ (x ∈ A → x ∈ ℋ )
22	21	ad2antll 320	. . . . . . 7 ⊢ (((x ∈ A ∧ y ∈ B) ∧ v = (x +v y)) → x ∈ ℋ )
23	2	shel 5120	. . . . . . . 8 ⊢ (z ∈ C → z ∈ ℋ )
24	23	adantr 306	. . . . . . 7 ⊢ ((z ∈ C ∧ (x −v z) ∈ R) → z ∈ ℋ )
25	20, 22, 24	syl2an 349	. . . . . 6 ⊢ ((((x ∈ A ∧ y ∈ B) ∧ v = (x +v y)) ∧ (z ∈ C ∧ (x −v z) ∈ R)) → (z +v (x −v z)) = x)
26	2, 3	shsva 5334	. . . . . . 7 ⊢ ((z ∈ C ∧ (x −v z) ∈ R) → (z +v (x −v z)) ∈ (C +ℋ R))
27	26	adantl 305	. . . . . 6 ⊢ ((((x ∈ A ∧ y ∈ B) ∧ v = (x +v y)) ∧ (z ∈ C ∧ (x −v z) ∈ R)) → (z +v (x −v z)) ∈ (C +ℋ R))
28	25, 27	eqeltrrd 1164	. . . . 5 ⊢ ((((x ∈ A ∧ y ∈ B) ∧ v = (x +v y)) ∧ (z ∈ C ∧ (x −v z) ∈ R)) → x ∈ (C +ℋ R))
29	12, 28	jca 236	. . . 4 ⊢ ((((x ∈ A ∧ y ∈ B) ∧ v = (x +v y)) ∧ (z ∈ C ∧ (x −v z) ∈ R)) → (x ∈ A ∧ x ∈ (C +ℋ R)))
30		elin 1635	. . . 4 ⊢ (x ∈ (A ∩ (C +ℋ R)) ↔ (x ∈ A ∧ x ∈ (C +ℋ R)))
31	29, 30	sylibr 175	. . 3 ⊢ ((((x ∈ A ∧ y ∈ B) ∧ v = (x +v y)) ∧ (z ∈ C ∧ (x −v z) ∈ R)) → x ∈ (A ∩ (C +ℋ R)))
32		pm3.27 260	. . . 4 ⊢ ((x ∈ A ∧ y ∈ B) → y ∈ B)
33	32	ad2antll 320	. . 3 ⊢ ((((x ∈ A ∧ y ∈ B) ∧ v = (x +v y)) ∧ (z ∈ C ∧ (x −v z) ∈ R)) → y ∈ B)
34	10, 31, 33	sylanc 361	. 2 ⊢ ((((x ∈ A ∧ y ∈ B) ∧ v = (x +v y)) ∧ (z ∈ C ∧ (x −v z) ∈ R)) → (x +v y) ∈ (B +ℋ (A ∩ (C +ℋ R))))
35		eleq1 1149	. . 3 ⊢ (v = (x +v y) → (v ∈ (B +ℋ (A ∩ (C +ℋ R))) ↔ (x +v y) ∈ (B +ℋ (A ∩ (C +ℋ R)))))
36	35	ad2antlr 321	. 2 ⊢ ((((x ∈ A ∧ y ∈ B) ∧ v = (x +v y)) ∧ (z ∈ C ∧ (x −v z) ∈ R)) → (v ∈ (B +ℋ (A ∩ (C +ℋ R))) ↔ (x +v y) ∈ (B +ℋ (A ∩ (C +ℋ R)))))
37	34, 36	mpbird 171	1 ⊢ ((((x ∈ A ∧ y ∈ B) ∧ v = (x +v y)) ∧ (z ∈ C ∧ (x −v z) ∈ R)) → v ∈ (B +ℋ (A ∩ (C +ℋ R))))

Syntax hints:   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196   = wceq 1091   ∈ wcel 1092   ∩ cin 1486  (class class class)co 3001   ℋ chil 4958   +_v cva 4959  0_vc0v 4961   −_v cmv 4962   S_ℋ csh 4967   +_ℋ cph 4970

This theorem is referenced by:  5oalem6 5549

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079  ax-hilex 4983  ax-hvaddcl 4984  ax-hvcom 4985  ax-hvass 4986  ax-hvzercl 4987  ax-hvaddid 4988  ax-hvmulcl 4989  ax-hvmulid 4991  ax-hvdistr1 4993  ax-hvdistr2 4994  ax-hvmulzer 4995

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-r 4038  df-plus 4039  df-sub 4133  df-neg 4135  df-hvsub 4996  df-sh 5114  df-shsum 5275

metamath.org