Theorem 5oalem3 5546

Description: Lemma for orthoarguesian law 5OA.

Hypotheses

Ref	Expression
5oalem3.1	⊢ A ∈ Sℋ
5oalem3.2	⊢ B ∈ Sℋ
5oalem3.3	⊢ C ∈ Sℋ
5oalem3.4	⊢ D ∈ Sℋ
5oalem3.5	⊢ F ∈ Sℋ
5oalem3.6	⊢ G ∈ Sℋ

Assertion

Ref	Expression
5oalem3	⊢ (((((x ∈ A ∧ y ∈ B) ∧ (z ∈ C ∧ w ∈ D)) ∧ (f ∈ F ∧ g ∈ G)) ∧ ((x +v y) = (f +v g) ∧ (z +v w) = (f +v g))) → (x −v z) ∈ (((A +ℋ F) ∩ (B +ℋ G)) +ℋ ((C +ℋ F) ∩ (D +ℋ G))))

Proof of Theorem 5oalem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5oalem3.1	. . . . . . 7 ⊢ A ∈ Sℋ
2		5oalem3.2	. . . . . . 7 ⊢ B ∈ Sℋ
3		5oalem3.5	. . . . . . 7 ⊢ F ∈ Sℋ
4		5oalem3.6	. . . . . . 7 ⊢ G ∈ Sℋ
5	1, 2, 3, 4	5oalem2 5545	. . . . . 6 ⊢ ((((x ∈ A ∧ y ∈ B) ∧ (f ∈ F ∧ g ∈ G)) ∧ (x +v y) = (f +v g)) → (x −v f) ∈ ((A +ℋ F) ∩ (B +ℋ G)))
6		5oalem3.3	. . . . . . 7 ⊢ C ∈ Sℋ
7		5oalem3.4	. . . . . . 7 ⊢ D ∈ Sℋ
8	6, 7, 3, 4	5oalem2 5545	. . . . . 6 ⊢ ((((z ∈ C ∧ w ∈ D) ∧ (f ∈ F ∧ g ∈ G)) ∧ (z +v w) = (f +v g)) → (z −v f) ∈ ((C +ℋ F) ∩ (D +ℋ G)))
9	5, 8	anim12i 268	. . . . 5 ⊢ (((((x ∈ A ∧ y ∈ B) ∧ (f ∈ F ∧ g ∈ G)) ∧ (x +v y) = (f +v g)) ∧ (((z ∈ C ∧ w ∈ D) ∧ (f ∈ F ∧ g ∈ G)) ∧ (z +v w) = (f +v g))) → ((x −v f) ∈ ((A +ℋ F) ∩ (B +ℋ G)) ∧ (z −v f) ∈ ((C +ℋ F) ∩ (D +ℋ G))))
10	9	an4s 390	. . . 4 ⊢ (((((x ∈ A ∧ y ∈ B) ∧ (f ∈ F ∧ g ∈ G)) ∧ ((z ∈ C ∧ w ∈ D) ∧ (f ∈ F ∧ g ∈ G))) ∧ ((x +v y) = (f +v g) ∧ (z +v w) = (f +v g))) → ((x −v f) ∈ ((A +ℋ F) ∩ (B +ℋ G)) ∧ (z −v f) ∈ ((C +ℋ F) ∩ (D +ℋ G))))
11		anandir 393	. . . 4 ⊢ ((((x ∈ A ∧ y ∈ B) ∧ (z ∈ C ∧ w ∈ D)) ∧ (f ∈ F ∧ g ∈ G)) ↔ (((x ∈ A ∧ y ∈ B) ∧ (f ∈ F ∧ g ∈ G)) ∧ ((z ∈ C ∧ w ∈ D) ∧ (f ∈ F ∧ g ∈ G))))
12	10, 11	sylanb 344	. . 3 ⊢ (((((x ∈ A ∧ y ∈ B) ∧ (z ∈ C ∧ w ∈ D)) ∧ (f ∈ F ∧ g ∈ G)) ∧ ((x +v y) = (f +v g) ∧ (z +v w) = (f +v g))) → ((x −v f) ∈ ((A +ℋ F) ∩ (B +ℋ G)) ∧ (z −v f) ∈ ((C +ℋ F) ∩ (D +ℋ G))))
13	1, 3	shscl 5282	. . . . 5 ⊢ (A +ℋ F) ∈ Sℋ
14	2, 4	shscl 5282	. . . . 5 ⊢ (B +ℋ G) ∈ Sℋ
15	13, 14	shincl 5332	. . . 4 ⊢ ((A +ℋ F) ∩ (B +ℋ G)) ∈ Sℋ
16	6, 3	shscl 5282	. . . . 5 ⊢ (C +ℋ F) ∈ Sℋ
17	7, 4	shscl 5282	. . . . 5 ⊢ (D +ℋ G) ∈ Sℋ
18	16, 17	shincl 5332	. . . 4 ⊢ ((C +ℋ F) ∩ (D +ℋ G)) ∈ Sℋ
19	15, 18	shsvs 5337	. . 3 ⊢ (((x −v f) ∈ ((A +ℋ F) ∩ (B +ℋ G)) ∧ (z −v f) ∈ ((C +ℋ F) ∩ (D +ℋ G))) → ((x −v f) −v (z −v f)) ∈ (((A +ℋ F) ∩ (B +ℋ G)) +ℋ ((C +ℋ F) ∩ (D +ℋ G))))
20	12, 19	syl 12	. 2 ⊢ (((((x ∈ A ∧ y ∈ B) ∧ (z ∈ C ∧ w ∈ D)) ∧ (f ∈ F ∧ g ∈ G)) ∧ ((x +v y) = (f +v g) ∧ (z +v w) = (f +v g))) → ((x −v f) −v (z −v f)) ∈ (((A +ℋ F) ∩ (B +ℋ G)) +ℋ ((C +ℋ F) ∩ (D +ℋ G))))
21		hvsubsub4t 5032	. . . . . . 7 ⊢ (((x ∈ ℋ ∧ f ∈ ℋ ) ∧ (z ∈ ℋ ∧ f ∈ ℋ )) → ((x −v f) −v (z −v f)) = ((x −v z) −v (f −v f)))
22	21	anandirs 395	. . . . . 6 ⊢ (((x ∈ ℋ ∧ z ∈ ℋ ) ∧ f ∈ ℋ ) → ((x −v f) −v (z −v f)) = ((x −v z) −v (f −v f)))
23		hvsubidt 5005	. . . . . . . 8 ⊢ (f ∈ ℋ → (f −v f) = 0v)
24	23	opreq2d 3013	. . . . . . 7 ⊢ (f ∈ ℋ → ((x −v z) −v (f −v f)) = ((x −v z) −v 0v))
25	24	adantl 305	. . . . . 6 ⊢ (((x ∈ ℋ ∧ z ∈ ℋ ) ∧ f ∈ ℋ ) → ((x −v z) −v (f −v f)) = ((x −v z) −v 0v))
26		hvsubclt 4998	. . . . . . . 8 ⊢ ((x ∈ ℋ ∧ z ∈ ℋ ) → (x −v z) ∈ ℋ )
27		hvsub0t 5041	. . . . . . . 8 ⊢ ((x −v z) ∈ ℋ → ((x −v z) −v 0v) = (x −v z))
28	26, 27	syl 12	. . . . . . 7 ⊢ ((x ∈ ℋ ∧ z ∈ ℋ ) → ((x −v z) −v 0v) = (x −v z))
29	28	adantr 306	. . . . . 6 ⊢ (((x ∈ ℋ ∧ z ∈ ℋ ) ∧ f ∈ ℋ ) → ((x −v z) −v 0v) = (x −v z))
30	22, 25, 29	3eqtrd 1132	. . . . 5 ⊢ (((x ∈ ℋ ∧ z ∈ ℋ ) ∧ f ∈ ℋ ) → ((x −v f) −v (z −v f)) = (x −v z))
31	1	shel 5120	. . . . . . 7 ⊢ (x ∈ A → x ∈ ℋ )
32	31	adantr 306	. . . . . 6 ⊢ ((x ∈ A ∧ y ∈ B) → x ∈ ℋ )
33	6	shel 5120	. . . . . . 7 ⊢ (z ∈ C → z ∈ ℋ )
34	33	adantr 306	. . . . . 6 ⊢ ((z ∈ C ∧ w ∈ D) → z ∈ ℋ )
35	32, 34	anim12i 268	. . . . 5 ⊢ (((x ∈ A ∧ y ∈ B) ∧ (z ∈ C ∧ w ∈ D)) → (x ∈ ℋ ∧ z ∈ ℋ ))
36	3	shel 5120	. . . . . 6 ⊢ (f ∈ F → f ∈ ℋ )
37	36	adantr 306	. . . . 5 ⊢ ((f ∈ F ∧ g ∈ G) → f ∈ ℋ )
38	30, 35, 37	syl2an 349	. . . 4 ⊢ ((((x ∈ A ∧ y ∈ B) ∧ (z ∈ C ∧ w ∈ D)) ∧ (f ∈ F ∧ g ∈ G)) → ((x −v f) −v (z −v f)) = (x −v z))
39	38	eleq1d 1155	. . 3 ⊢ ((((x ∈ A ∧ y ∈ B) ∧ (z ∈ C ∧ w ∈ D)) ∧ (f ∈ F ∧ g ∈ G)) → (((x −v f) −v (z −v f)) ∈ (((A +ℋ F) ∩ (B +ℋ G)) +ℋ ((C +ℋ F) ∩ (D +ℋ G))) ↔ (x −v z) ∈ (((A +ℋ F) ∩ (B +ℋ G)) +ℋ ((C +ℋ F) ∩ (D +ℋ G)))))
40	39	adantr 306	. 2 ⊢ (((((x ∈ A ∧ y ∈ B) ∧ (z ∈ C ∧ w ∈ D)) ∧ (f ∈ F ∧ g ∈ G)) ∧ ((x +v y) = (f +v g) ∧ (z +v w) = (f +v g))) → (((x −v f) −v (z −v f)) ∈ (((A +ℋ F) ∩ (B +ℋ G)) +ℋ ((C +ℋ F) ∩ (D +ℋ G))) ↔ (x −v z) ∈ (((A +ℋ F) ∩ (B +ℋ G)) +ℋ ((C +ℋ F) ∩ (D +ℋ G)))))
41	20, 40	mpbid 170	1 ⊢ (((((x ∈ A ∧ y ∈ B) ∧ (z ∈ C ∧ w ∈ D)) ∧ (f ∈ F ∧ g ∈ G)) ∧ ((x +v y) = (f +v g) ∧ (z +v w) = (f +v g))) → (x −v z) ∈ (((A +ℋ F) ∩ (B +ℋ G)) +ℋ ((C +ℋ F) ∩ (D +ℋ G))))

Syntax hints:   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196   = wceq 1091   ∈ wcel 1092   ∩ cin 1486  (class class class)co 3001   ℋ chil 4958   +_v cva 4959  0_vc0v 4961   −_v cmv 4962   S_ℋ csh 4967   +_ℋ cph 4970

This theorem is referenced by:  5oalem4 5547

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079  ax-hilex 4983  ax-hvaddcl 4984  ax-hvcom 4985  ax-hvass 4986  ax-hvzercl 4987  ax-hvaddid 4988  ax-hvmulcl 4989  ax-hvmulid 4991  ax-hvmulass 4992  ax-hvdistr1 4993  ax-hvdistr2 4994  ax-hvmulzer 4995

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-sub 4133  df-neg 4135  df-hvsub 4996  df-sh 5114  df-shsum 5275

metamath.org