Theorem 5oalem6 5549

Description: Lemma for orthoarguesian law 5OA.

Hypotheses

Ref	Expression
5oalem5.1	⊢ A ∈ Sℋ
5oalem5.2	⊢ B ∈ Sℋ
5oalem5.3	⊢ C ∈ Sℋ
5oalem5.4	⊢ D ∈ Sℋ
5oalem5.5	⊢ F ∈ Sℋ
5oalem5.6	⊢ G ∈ Sℋ
5oalem5.7	⊢ R ∈ Sℋ
5oalem5.8	⊢ S ∈ Sℋ

Assertion

Ref

Expression

5oalem6

⊢ (((((x ∈ A ∧ y ∈ B) ∧ h = (x +v y)) ∧ ((z ∈ C ∧ w ∈ D) ∧ h = (z +v w))) ∧ (((f ∈ F ∧ g ∈ G) ∧ h = (f +v g)) ∧ ((v ∈ R ∧ u ∈ S) ∧ h = (v +v u)))) → h ∈ (B +ℋ (A ∩ (C +ℋ ((((A +ℋ C) ∩ (B +ℋ D)) ∩ (((A +ℋ R) ∩ (B +ℋ S)) +ℋ ((C +ℋ R) ∩ (D +ℋ S)))) ∩ ((((A +ℋ F) ∩ (B +ℋ G)) ∩ (((A +ℋ R) ∩ (B +ℋ S)) +ℋ ((F +ℋ R) ∩ (G +ℋ S)))) +ℋ (((C +ℋ F) ∩ (D +ℋ G)) ∩ (((C +ℋ R) ∩ (D +ℋ S)) +ℋ ((F +ℋ R) ∩ (G +ℋ S))))))))))

Proof of Theorem 5oalem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cleq1 1107	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (h = (x +v y) → (h = (v +v u) ↔ (x +v y) = (v +v u)))
2	1	biimpcd 137	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (h = (v +v u) → (h = (x +v y) → (x +v y) = (v +v u)))
3		cleq1 1107	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (h = (z +v w) → (h = (v +v u) ↔ (z +v w) = (v +v u)))
4	3	biimpcd 137	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (h = (v +v u) → (h = (z +v w) → (z +v w) = (v +v u)))
5	2, 4	anim12d 431	. . . . . . . . . 10 ⊢ (h = (v +v u) → ((h = (x +v y) ∧ h = (z +v w)) → ((x +v y) = (v +v u) ∧ (z +v w) = (v +v u))))
6		cleq1 1107	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (h = (f +v g) → (h = (v +v u) ↔ (f +v g) = (v +v u)))
7	6	biimpcd 137	. . . . . . . . . 10 ⊢ (h = (v +v u) → (h = (f +v g) → (f +v g) = (v +v u)))
8	5, 7	anim12d 431	. . . . . . . . 9 ⊢ (h = (v +v u) → (((h = (x +v y) ∧ h = (z +v w)) ∧ h = (f +v g)) → (((x +v y) = (v +v u) ∧ (z +v w) = (v +v u)) ∧ (f +v g) = (v +v u))))
9	8	exp3a 292	. . . . . . . 8 ⊢ (h = (v +v u) → ((h = (x +v y) ∧ h = (z +v w)) → (h = (f +v g) → (((x +v y) = (v +v u) ∧ (z +v w) = (v +v u)) ∧ (f +v g) = (v +v u)))))
10	9	com3l 34	. . . . . . 7 ⊢ ((h = (x +v y) ∧ h = (z +v w)) → (h = (f +v g) → (h = (v +v u) → (((x +v y) = (v +v u) ∧ (z +v w) = (v +v u)) ∧ (f +v g) = (v +v u)))))
11	10	imp32 281	. . . . . 6 ⊢ (((h = (x +v y) ∧ h = (z +v w)) ∧ (h = (f +v g) ∧ h = (v +v u))) → (((x +v y) = (v +v u) ∧ (z +v w) = (v +v u)) ∧ (f +v g) = (v +v u)))
12	11	anim2i 270	. . . . 5 ⊢ (((((x ∈ A ∧ y ∈ B) ∧ (z ∈ C ∧ w ∈ D)) ∧ ((f ∈ F ∧ g ∈ G) ∧ (v ∈ R ∧ u ∈ S))) ∧ ((h = (x +v y) ∧ h = (z +v w)) ∧ (h = (f +v g) ∧ h = (v +v u)))) → ((((x ∈ A ∧ y ∈ B) ∧ (z ∈ C ∧ w ∈ D)) ∧ ((f ∈ F ∧ g ∈ G) ∧ (v ∈ R ∧ u ∈ S))) ∧ (((x +v y) = (v +v u) ∧ (z +v w) = (v +v u)) ∧ (f +v g) = (v +v u))))
13	12	an4s 390	. . . 4 ⊢ (((((x ∈ A ∧ y ∈ B) ∧ (z ∈ C ∧ w ∈ D)) ∧ (h = (x +v y) ∧ h = (z +v w))) ∧ (((f ∈ F ∧ g ∈ G) ∧ (v ∈ R ∧ u ∈ S)) ∧ (h = (f +v g) ∧ h = (v +v u)))) → ((((x ∈ A ∧ y ∈ B) ∧ (z ∈ C ∧ w ∈ D)) ∧ ((f ∈ F ∧ g ∈ G) ∧ (v ∈ R ∧ u ∈ S))) ∧ (((x +v y) = (v +v u) ∧ (z +v w) = (v +v u)) ∧ (f +v g) = (v +v u))))
14		an4 388	. . . 4 ⊢ ((((x ∈ A ∧ y ∈ B) ∧ h = (x +v y)) ∧ ((z ∈ C ∧ w ∈ D) ∧ h = (z +v w))) ↔ (((x ∈ A ∧ y ∈ B) ∧ (z ∈ C ∧ w ∈ D)) ∧ (h = (x +v y) ∧ h = (z +v w))))
15		an4 388	. . . 4 ⊢ ((((f ∈ F ∧ g ∈ G) ∧ h = (f +v g)) ∧ ((v ∈ R ∧ u ∈ S) ∧ h = (v +v u))) ↔ (((f ∈ F ∧ g ∈ G) ∧ (v ∈ R ∧ u ∈ S)) ∧ (h = (f +v g) ∧ h = (v +v u))))
16	13, 14, 15	syl2anb 350	. . 3 ⊢ (((((x ∈ A ∧ y ∈ B) ∧ h = (x +v y)) ∧ ((z ∈ C ∧ w ∈ D) ∧ h = (z +v w))) ∧ (((f ∈ F ∧ g ∈ G) ∧ h = (f +v g)) ∧ ((v ∈ R ∧ u ∈ S) ∧ h = (v +v u)))) → ((((x ∈ A ∧ y ∈ B) ∧ (z ∈ C ∧ w ∈ D)) ∧ ((f ∈ F ∧ g ∈ G) ∧ (v ∈ R ∧ u ∈ S))) ∧ (((x +v y) = (v +v u) ∧ (z +v w) = (v +v u)) ∧ (f +v g) = (v +v u))))
17		5oalem5.1	. . . 4 ⊢ A ∈ Sℋ
18		5oalem5.2	. . . 4 ⊢ B ∈ Sℋ
19		5oalem5.3	. . . 4 ⊢ C ∈ Sℋ
20		5oalem5.4	. . . 4 ⊢ D ∈ Sℋ
21		5oalem5.5	. . . 4 ⊢ F ∈ Sℋ
22		5oalem5.6	. . . 4 ⊢ G ∈ Sℋ
23		5oalem5.7	. . . 4 ⊢ R ∈ Sℋ
24		5oalem5.8	. . . 4 ⊢ S ∈ Sℋ
25	17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24	5oalem5 5548	. . 3 ⊢ (((((x ∈ A ∧ y ∈ B) ∧ (z ∈ C ∧ w ∈ D)) ∧ ((f ∈ F ∧ g ∈ G) ∧ (v ∈ R ∧ u ∈ S))) ∧ (((x +v y) = (v +v u) ∧ (z +v w) = (v +v u)) ∧ (f +v g) = (v +v u))) → (x −v z) ∈ ((((A +ℋ C) ∩ (B +ℋ D)) ∩ (((A +ℋ R) ∩ (B +ℋ S)) +ℋ ((C +ℋ R) ∩ (D +ℋ S)))) ∩ ((((A +ℋ F) ∩ (B +ℋ G)) ∩ (((A +ℋ R) ∩ (B +ℋ S)) +ℋ ((F +ℋ R) ∩ (G +ℋ S)))) +ℋ (((C +ℋ F) ∩ (D +ℋ G)) ∩ (((C +ℋ R) ∩ (D +ℋ S)) +ℋ ((F +ℋ R) ∩ (G +ℋ S)))))))
26	16, 25	syl 12	. 2 ⊢ (((((x ∈ A ∧ y ∈ B) ∧ h = (x +v y)) ∧ ((z ∈ C ∧ w ∈ D) ∧ h = (z +v w))) ∧ (((f ∈ F ∧ g ∈ G) ∧ h = (f +v g)) ∧ ((v ∈ R ∧ u ∈ S) ∧ h = (v +v u)))) → (x −v z) ∈ ((((A +ℋ C) ∩ (B +ℋ D)) ∩ (((A +ℋ R) ∩ (B +ℋ S)) +ℋ ((C +ℋ R) ∩ (D +ℋ S)))) ∩ ((((A +ℋ F) ∩ (B +ℋ G)) ∩ (((A +ℋ R) ∩ (B +ℋ S)) +ℋ ((F +ℋ R) ∩ (G +ℋ S)))) +ℋ (((C +ℋ F) ∩ (D +ℋ G)) ∩ (((C +ℋ R) ∩ (D +ℋ S)) +ℋ ((F +ℋ R) ∩ (G +ℋ S)))))))
27	17, 19	shscl 5282	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (A +ℋ C) ∈ Sℋ
28	18, 20	shscl 5282	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (B +ℋ D) ∈ Sℋ
29	27, 28	shincl 5332	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((A +ℋ C) ∩ (B +ℋ D)) ∈ Sℋ
30	17, 23	shscl 5282	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (A +ℋ R) ∈ Sℋ
31	18, 24	shscl 5282	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (B +ℋ S) ∈ Sℋ
32	30, 31	shincl 5332	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((A +ℋ R) ∩ (B +ℋ S)) ∈ Sℋ
33	19, 23	shscl 5282	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (C +ℋ R) ∈ Sℋ
34	20, 24	shscl 5282	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (D +ℋ S) ∈ Sℋ
35	33, 34	shincl 5332	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((C +ℋ R) ∩ (D +ℋ S)) ∈ Sℋ
36	32, 35	shscl 5282	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((A +ℋ R) ∩ (B +ℋ S)) +ℋ ((C +ℋ R) ∩ (D +ℋ S))) ∈ Sℋ
37	29, 36	shincl 5332	. . . . . . . . 9 ⊢ (((A +ℋ C) ∩ (B +ℋ D)) ∩ (((A +ℋ R) ∩ (B +ℋ S)) +ℋ ((C +ℋ R) ∩ (D +ℋ S)))) ∈ Sℋ
38	17, 21	shscl 5282	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (A +ℋ F) ∈ Sℋ
39	18, 22	shscl 5282	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (B +ℋ G) ∈ Sℋ
40	38, 39	shincl 5332	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((A +ℋ F) ∩ (B +ℋ G)) ∈ Sℋ
41	21, 23	shscl 5282	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (F +ℋ R) ∈ Sℋ
42	22, 24	shscl 5282	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (G +ℋ S) ∈ Sℋ
43	41, 42	shincl 5332	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((F +ℋ R) ∩ (G +ℋ S)) ∈ Sℋ
44	32, 43	shscl 5282	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((A +ℋ R) ∩ (B +ℋ S)) +ℋ ((F +ℋ R) ∩ (G +ℋ S))) ∈ Sℋ
45	40, 44	shincl 5332	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((A +ℋ F) ∩ (B +ℋ G)) ∩ (((A +ℋ R) ∩ (B +ℋ S)) +ℋ ((F +ℋ R) ∩ (G +ℋ S)))) ∈ Sℋ
46	19, 21	shscl 5282	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (C +ℋ F) ∈ Sℋ
47	20, 22	shscl 5282	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (D +ℋ G) ∈ Sℋ
48	46, 47	shincl 5332	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((C +ℋ F) ∩ (D +ℋ G)) ∈ Sℋ
49	35, 43	shscl 5282	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((C +ℋ R) ∩ (D +ℋ S)) +ℋ ((F +ℋ R) ∩ (G +ℋ S))) ∈ Sℋ
50	48, 49	shincl 5332	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((C +ℋ F) ∩ (D +ℋ G)) ∩ (((C +ℋ R) ∩ (D +ℋ S)) +ℋ ((F +ℋ R) ∩ (G +ℋ S)))) ∈ Sℋ
51	45, 50	shscl 5282	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((A +ℋ F) ∩ (B +ℋ G)) ∩ (((A +ℋ R) ∩ (B +ℋ S)) +ℋ ((F +ℋ R) ∩ (G +ℋ S)))) +ℋ (((C +ℋ F) ∩ (D +ℋ G)) ∩ (((C +ℋ R) ∩ (D +ℋ S)) +ℋ ((F +ℋ R) ∩ (G +ℋ S))))) ∈ Sℋ
52	37, 51	shincl 5332	. . . . . . . 8 ⊢ ((((A +ℋ C) ∩ (B +ℋ D)) ∩ (((A +ℋ R) ∩ (B +ℋ S)) +ℋ ((C +ℋ R) ∩ (D +ℋ S)))) ∩ ((((A +ℋ F) ∩ (B +ℋ G)) ∩ (((A +ℋ R) ∩ (B +ℋ S)) +ℋ ((F +ℋ R) ∩ (G +ℋ S)))) +ℋ (((C +ℋ F) ∩ (D +ℋ G)) ∩ (((C +ℋ R) ∩ (D +ℋ S)) +ℋ ((F +ℋ R) ∩ (G +ℋ S)))))) ∈ Sℋ
53	17, 18, 19, 52	5oalem1 5544	. . . . . . 7 ⊢ ((((x ∈ A ∧ y ∈ B) ∧ h = (x +v y)) ∧ (z ∈ C ∧ (x −v z) ∈ ((((A +ℋ C) ∩ (B +ℋ D)) ∩ (((A +ℋ R) ∩ (B +ℋ S)) +ℋ ((C +ℋ R) ∩ (D +ℋ S)))) ∩ ((((A +ℋ F) ∩ (B +ℋ G)) ∩ (((A +ℋ R) ∩ (B +ℋ S)) +ℋ ((F +ℋ R) ∩ (G +ℋ S)))) +ℋ (((C +ℋ F) ∩ (D +ℋ G)) ∩ (((C +ℋ R) ∩ (D +ℋ S)) +ℋ ((F +ℋ R) ∩ (G +ℋ S)))))))) → h ∈ (B +ℋ (A ∩ (C +ℋ ((((A +ℋ C) ∩ (B +ℋ D)) ∩ (((A +ℋ R) ∩ (B +ℋ S)) +ℋ ((C +ℋ R) ∩ (D +ℋ S)))) ∩ ((((A +ℋ F) ∩ (B +ℋ G)) ∩ (((A +ℋ R) ∩ (B +ℋ S)) +ℋ ((F +ℋ R) ∩ (G +ℋ S)))) +ℋ (((C +ℋ F) ∩ (D +ℋ G)) ∩ (((C +ℋ R) ∩ (D +ℋ S)) +ℋ ((F +ℋ R) ∩ (G +ℋ S))))))))))
54	53	exp32 294	. . . . . 6 ⊢ (((x ∈ A ∧ y ∈ B) ∧ h = (x +v y)) → (z ∈ C → ((x −v z) ∈ ((((A +ℋ C) ∩ (B +ℋ D)) ∩ (((A +ℋ R) ∩ (B +ℋ S)) +ℋ ((C +ℋ R) ∩ (D +ℋ S)))) ∩ ((((A +ℋ F) ∩ (B +ℋ G)) ∩ (((A +ℋ R) ∩ (B +ℋ S)) +ℋ ((F +ℋ R) ∩ (G +ℋ S)))) +ℋ (((C +ℋ F) ∩ (D +ℋ G)) ∩ (((C +ℋ R) ∩ (D +ℋ S)) +ℋ ((F +ℋ R) ∩ (G +ℋ S)))))) → h ∈ (B +ℋ (A ∩ (C +ℋ ((((A +ℋ C) ∩ (B +ℋ D)) ∩ (((A +ℋ R) ∩ (B +ℋ S)) +ℋ ((C +ℋ R) ∩ (D +ℋ S)))) ∩ ((((A +ℋ F) ∩ (B +ℋ G)) ∩ (((A +ℋ R) ∩ (B +ℋ S)) +ℋ ((F +ℋ R) ∩ (G +ℋ S)))) +ℋ (((C +ℋ F) ∩ (D +ℋ G)) ∩ (((C +ℋ R) ∩ (D +ℋ S)) +ℋ ((F +ℋ R) ∩ (G +ℋ S))))))))))))
55	54	imp 277	. . . . 5 ⊢ ((((x ∈ A ∧ y ∈ B) ∧ h = (x +v y)) ∧ z ∈ C) → ((x −v z) ∈ ((((A +ℋ C) ∩ (B +ℋ D)) ∩ (((A +ℋ R) ∩ (B +ℋ S)) +ℋ ((C +ℋ R) ∩ (D +ℋ S)))) ∩ ((((A +ℋ F) ∩ (B +ℋ G)) ∩ (((A +ℋ R) ∩ (B +ℋ S)) +ℋ ((F +ℋ R) ∩ (G +ℋ S)))) +ℋ (((C +ℋ F) ∩ (D +ℋ G)) ∩ (((C +ℋ R) ∩ (D +ℋ S)) +ℋ ((F +ℋ R) ∩ (G +ℋ S)))))) → h ∈ (B +ℋ (A ∩ (C +ℋ ((((A +ℋ C) ∩ (B +ℋ D)) ∩ (((A +ℋ R) ∩ (B +ℋ S)) +ℋ ((C +ℋ R) ∩ (D +ℋ S)))) ∩ ((((A +ℋ F) ∩ (B +ℋ G)) ∩ (((A +ℋ R) ∩ (B +ℋ S)) +ℋ ((F +ℋ R) ∩ (G +ℋ S)))) +ℋ (((C +ℋ F) ∩ (D +ℋ G)) ∩ (((C +ℋ R) ∩ (D +ℋ S)) +ℋ ((F +ℋ R) ∩ (G +ℋ S)))))))))))
56	55	adantrr 312	. . . 4 ⊢ ((((x ∈ A ∧ y ∈ B) ∧ h = (x +v y)) ∧ (z ∈ C ∧ w ∈ D)) → ((x −v z) ∈ ((((A +ℋ C) ∩ (B +ℋ D)) ∩ (((A +ℋ R) ∩ (B +ℋ S)) +ℋ ((C +ℋ R) ∩ (D +ℋ S)))) ∩ ((((A +ℋ F) ∩ (B +ℋ G)) ∩ (((A +ℋ R) ∩ (B +ℋ S)) +ℋ ((F +ℋ R) ∩ (G +ℋ S)))) +ℋ (((C +ℋ F) ∩ (D +ℋ G)) ∩ (((C +ℋ R) ∩ (D +ℋ S)) +ℋ ((F +ℋ R) ∩ (G +ℋ S)))))) → h ∈ (B +ℋ (A ∩ (C +ℋ ((((A +ℋ C) ∩ (B +ℋ D)) ∩ (((A +ℋ R) ∩ (B +ℋ S)) +ℋ ((C +ℋ R) ∩ (D +ℋ S)))) ∩ ((((A +ℋ F) ∩ (B +ℋ G)) ∩ (((A +ℋ R) ∩ (B +ℋ S)) +ℋ ((F +ℋ R) ∩ (G +ℋ S)))) +ℋ (((C +ℋ F) ∩ (D +ℋ G)) ∩ (((C +ℋ R) ∩ (D +ℋ S)) +ℋ ((F +ℋ R) ∩ (G +ℋ S)))))))))))
57	56	adantrr 312	. . 3 ⊢ ((((x ∈ A ∧ y ∈ B) ∧ h = (x +v y)) ∧ ((z ∈ C ∧ w ∈ D) ∧ h = (z +v w))) → ((x −v z) ∈ ((((A +ℋ C) ∩ (B +ℋ D)) ∩ (((A +ℋ R) ∩ (B +ℋ S)) +ℋ ((C +ℋ R) ∩ (D +ℋ S)))) ∩ ((((A +ℋ F) ∩ (B +ℋ G)) ∩ (((A +ℋ R) ∩ (B +ℋ S)) +ℋ ((F +ℋ R) ∩ (G +ℋ S)))) +ℋ (((C +ℋ F) ∩ (D +ℋ G)) ∩ (((C +ℋ R) ∩ (D +ℋ S)) +ℋ ((F +ℋ R) ∩ (G +ℋ S)))))) → h ∈ (B +ℋ (A ∩ (C +ℋ ((((A +ℋ C) ∩ (B +ℋ D)) ∩ (((A +ℋ R) ∩ (B +ℋ S)) +ℋ ((C +ℋ R) ∩ (D +ℋ S)))) ∩ ((((A +ℋ F) ∩ (B +ℋ G)) ∩ (((A +ℋ R) ∩ (B +ℋ S)) +ℋ ((F +ℋ R) ∩ (G +ℋ S)))) +ℋ (((C +ℋ F) ∩ (D +ℋ G)) ∩ (((C +ℋ R) ∩ (D +ℋ S)) +ℋ ((F +ℋ R) ∩ (G +ℋ S)))))))))))
58	57	adantr 306	. 2 ⊢ (((((x ∈ A ∧ y ∈ B) ∧ h = (x +v y)) ∧ ((z ∈ C ∧ w ∈ D) ∧ h = (z +v w))) ∧ (((f ∈ F ∧ g ∈ G) ∧ h = (f +v g)) ∧ ((v ∈ R ∧ u ∈ S) ∧ h = (v +v u)))) → ((x −v z) ∈ ((((A +ℋ C) ∩ (B +ℋ D)) ∩ (((A +ℋ R) ∩ (B +ℋ S)) +ℋ ((C +ℋ R) ∩ (D +ℋ S)))) ∩ ((((A +ℋ F) ∩ (B +ℋ G)) ∩ (((A +ℋ R) ∩ (B +ℋ S)) +ℋ ((F +ℋ R) ∩ (G +ℋ S)))) +ℋ (((C +ℋ F) ∩ (D +ℋ G)) ∩ (((C +ℋ R) ∩ (D +ℋ S)) +ℋ ((F +ℋ R) ∩ (G +ℋ S)))))) → h ∈ (B +ℋ (A ∩ (C +ℋ ((((A +ℋ C) ∩ (B +ℋ D)) ∩ (((A +ℋ R) ∩ (B +ℋ S)) +ℋ ((C +ℋ R) ∩ (D +ℋ S)))) ∩ ((((A +ℋ F) ∩ (B +ℋ G)) ∩ (((A +ℋ R) ∩ (B +ℋ S)) +ℋ ((F +ℋ R) ∩ (G +ℋ S)))) +ℋ (((C +ℋ F) ∩ (D +ℋ G)) ∩ (((C +ℋ R) ∩ (D +ℋ S)) +ℋ ((F +ℋ R) ∩ (G +ℋ S)))))))))))
59	26, 58	mpd 46	1 ⊢ (((((x ∈ A ∧ y ∈ B) ∧ h = (x +v y)) ∧ ((z ∈ C ∧ w ∈ D) ∧ h = (z +v w))) ∧ (((f ∈ F ∧ g ∈ G) ∧ h = (f +v g)) ∧ ((v ∈ R ∧ u ∈ S) ∧ h = (v +v u)))) → h ∈ (B +ℋ (A ∩ (C +ℋ ((((A +ℋ C) ∩ (B +ℋ D)) ∩ (((A +ℋ R) ∩ (B +ℋ S)) +ℋ ((C +ℋ R) ∩ (D +ℋ S)))) ∩ ((((A +ℋ F) ∩ (B +ℋ G)) ∩ (((A +ℋ R) ∩ (B +ℋ S)) +ℋ ((F +ℋ R) ∩ (G +ℋ S)))) +ℋ (((C +ℋ F) ∩ (D +ℋ G)) ∩ (((C +ℋ R) ∩ (D +ℋ S)) +ℋ ((F +ℋ R) ∩ (G +ℋ S))))))))))

Syntax hints:   → wi 2   ∧ wa 196   = wceq 1091   ∈ wcel 1092   ∩ cin 1486  (class class class)co 3001   +_v cva 4959   −_v cmv 4962   S_ℋ csh 4967   +_ℋ cph 4970

This theorem is referenced by:  5oalem7 5550

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079  ax-hilex 4983  ax-hvaddcl 4984  ax-hvcom 4985  ax-hvass 4986  ax-hvzercl 4987  ax-hvaddid 4988  ax-hvmulcl 4989  ax-hvmulid 4991  ax-hvmulass 4992  ax-hvdistr1 4993  ax-hvdistr2 4994  ax-hvmulzer 4995

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-sub 4133  df-neg 4135  df-hvsub 4996  df-sh 5114  df-shsum 5275

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