Theorem abn0 1715

Description: Non-empty class abstraction.

Assertion

Ref	Expression
abn0	⊢ (¬ {x∣φ} = ∅ ↔ ∃xφ)

Proof of Theorem abn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0 1714	. 2 ⊢ (¬ {x∣φ} = ∅ ↔ ∃y y ∈ {x∣φ})
2		hbab1 1095	. . 3 ⊢ (y ∈ {x∣φ} → ∀x y ∈ {x∣φ})
3		ax-17 925	. . 3 ⊢ (x ∈ {x∣φ} → ∀y x ∈ {x∣φ})
4		eleq1 1149	. . 3 ⊢ (y = x → (y ∈ {x∣φ} ↔ x ∈ {x∣φ}))
5	2, 3, 4	cbvex 849	. 2 ⊢ (∃y y ∈ {x∣φ} ↔ ∃x x ∈ {x∣φ})
6		abid 1094	. . 3 ⊢ (x ∈ {x∣φ} ↔ φ)
7	6	biex 733	. 2 ⊢ (∃x x ∈ {x∣φ} ↔ ∃xφ)
8	1, 5, 7	3bitr 155	1 ⊢ (¬ {x∣φ} = ∅ ↔ ∃xφ)

Syntax hints:  ¬ wn 1   ↔ wb 127  ∃wex 678  {cab 1090   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ∅c0 1707

This theorem is referenced by:  rabn0 1716  intexab 1987  onminex 2275  imasn 2616  fvprc 2829  fvopabn 2873  iinon 2948  mapprc 3260  map0b 3267  map0 3268  pw2en 3348  scott0 3542  scott0s 3544  cp 3547  karden 3551  aceq3lem 3555

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-v 1349  df-dif 1489  df-nul 1708

metamath.org