Theorem abs00 4839

Description: The absolute value of a number is zero iff the number is zero. Proposition 10-3.7(c) of [Gleason] p. 133.

Hypothesis

Ref	Expression
absval2.1	⊢ A ∈ ℂ

Assertion

Ref	Expression
abs00	⊢ ((abs ‘A) = 0 ↔ A = 0)

Proof of Theorem abs00

Step	Hyp	Ref	Expression
1		absval2.1	. . . 4 ⊢ A ∈ ℂ
2	1	absval2 4836	. . 3 ⊢ (abs ‘A) = (√ ‘(((ℜ ‘A)↑2) + ((ℑ ‘A)↑2)))
3	2	cleq1i 1108	. 2 ⊢ ((abs ‘A) = 0 ↔ (√ ‘(((ℜ ‘A)↑2) + ((ℑ ‘A)↑2))) = 0)
4	1	recl 4802	. . . . 5 ⊢ (ℜ ‘A) ∈ ℝ
5	4	sqrecl 4699	. . . 4 ⊢ ((ℜ ‘A)↑2) ∈ ℝ
6	1	imcl 4803	. . . . 5 ⊢ (ℑ ‘A) ∈ ℝ
7	6	sqrecl 4699	. . . 4 ⊢ ((ℑ ‘A)↑2) ∈ ℝ
8	5, 7	readdcl 4118	. . 3 ⊢ (((ℜ ‘A)↑2) + ((ℑ ‘A)↑2)) ∈ ℝ
9	4	sqege0 4704	. . . 4 ⊢ 0 ≤ ((ℜ ‘A)↑2)
10	6	sqege0 4704	. . . 4 ⊢ 0 ≤ ((ℑ ‘A)↑2)
11	5, 7	addge0 4324	. . . 4 ⊢ ((0 ≤ ((ℜ ‘A)↑2) ∧ 0 ≤ ((ℑ ‘A)↑2)) → 0 ≤ (((ℜ ‘A)↑2) + ((ℑ ‘A)↑2)))
12	9, 10, 11	mp2an 520	. . 3 ⊢ 0 ≤ (((ℜ ‘A)↑2) + ((ℑ ‘A)↑2))
13		sqr00t 4770	. . 3 ⊢ (((((ℜ ‘A)↑2) + ((ℑ ‘A)↑2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (((ℜ ‘A)↑2) + ((ℑ ‘A)↑2))) → ((√ ‘(((ℜ ‘A)↑2) + ((ℑ ‘A)↑2))) = 0 ↔ (((ℜ ‘A)↑2) + ((ℑ ‘A)↑2)) = 0))
14	8, 12, 13	mp2an 520	. 2 ⊢ ((√ ‘(((ℜ ‘A)↑2) + ((ℑ ‘A)↑2))) = 0 ↔ (((ℜ ‘A)↑2) + ((ℑ ‘A)↑2)) = 0)
15	5, 7	add20 4329	. . . 4 ⊢ ((0 ≤ ((ℜ ‘A)↑2) ∧ 0 ≤ ((ℑ ‘A)↑2)) → ((((ℜ ‘A)↑2) + ((ℑ ‘A)↑2)) = 0 ↔ (((ℜ ‘A)↑2) = 0 ∧ ((ℑ ‘A)↑2) = 0)))
16	9, 10, 15	mp2an 520	. . 3 ⊢ ((((ℜ ‘A)↑2) + ((ℑ ‘A)↑2)) = 0 ↔ (((ℜ ‘A)↑2) = 0 ∧ ((ℑ ‘A)↑2) = 0))
17	4	recn 4098	. . . . 5 ⊢ (ℜ ‘A) ∈ ℂ
18	17	sqe0 4687	. . . 4 ⊢ (((ℜ ‘A)↑2) = 0 ↔ (ℜ ‘A) = 0)
19	6	recn 4098	. . . . 5 ⊢ (ℑ ‘A) ∈ ℂ
20	19	sqe0 4687	. . . 4 ⊢ (((ℑ ‘A)↑2) = 0 ↔ (ℑ ‘A) = 0)
21	18, 20	anbi12i 369	. . 3 ⊢ ((((ℜ ‘A)↑2) = 0 ∧ ((ℑ ‘A)↑2) = 0) ↔ ((ℜ ‘A) = 0 ∧ (ℑ ‘A) = 0))
22		opreq1 3006	. . . . . . 7 ⊢ ((ℜ ‘A) = 0 → ((ℜ ‘A) + ((ℑ ‘A) · i)) = (0 + ((ℑ ‘A) · i)))
23		opreq1 3006	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℑ ‘A) = 0 → ((ℑ ‘A) · i) = (0 · i))
24	23	opreq2d 3013	. . . . . . 7 ⊢ ((ℑ ‘A) = 0 → (0 + ((ℑ ‘A) · i)) = (0 + (0 · i)))
25	22, 24	sylan9eq 1144	. . . . . 6 ⊢ (((ℜ ‘A) = 0 ∧ (ℑ ‘A) = 0) → ((ℜ ‘A) + ((ℑ ‘A) · i)) = (0 + (0 · i)))
26		0cn 4100	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℂ
27		axicn 4065	. . . . . . . . 9 ⊢ i ∈ ℂ
28	26, 27	mulcl 4105	. . . . . . . 8 ⊢ (0 · i) ∈ ℂ
29	28	addid2 4113	. . . . . . 7 ⊢ (0 + (0 · i)) = (0 · i)
30	27	mulzer2 4186	. . . . . . 7 ⊢ (0 · i) = 0
31	29, 30	eqtr 1119	. . . . . 6 ⊢ (0 + (0 · i)) = 0
32	25, 31	syl6eq 1140	. . . . 5 ⊢ (((ℜ ‘A) = 0 ∧ (ℑ ‘A) = 0) → ((ℜ ‘A) + ((ℑ ‘A) · i)) = 0)
33	1	replim 4805	. . . . 5 ⊢ A = ((ℜ ‘A) + ((ℑ ‘A) · i))
34	32, 33	syl5eq 1136	. . . 4 ⊢ (((ℜ ‘A) = 0 ∧ (ℑ ‘A) = 0) → A = 0)
35		fveq2 2832	. . . . . 6 ⊢ (A = 0 → (ℜ ‘A) = (ℜ ‘0))
36		re0 4833	. . . . . 6 ⊢ (ℜ ‘0) = 0
37	35, 36	syl6eq 1140	. . . . 5 ⊢ (A = 0 → (ℜ ‘A) = 0)
38		fveq2 2832	. . . . . 6 ⊢ (A = 0 → (ℑ ‘A) = (ℑ ‘0))
39		im0 4834	. . . . . 6 ⊢ (ℑ ‘0) = 0
40	38, 39	syl6eq 1140	. . . . 5 ⊢ (A = 0 → (ℑ ‘A) = 0)
41	37, 40	jca 236	. . . 4 ⊢ (A = 0 → ((ℜ ‘A) = 0 ∧ (ℑ ‘A) = 0))
42	34, 41	impbi 139	. . 3 ⊢ (((ℜ ‘A) = 0 ∧ (ℑ ‘A) = 0) ↔ A = 0)
43	16, 21, 42	3bitr 155	. 2 ⊢ ((((ℜ ‘A)↑2) + ((ℑ ‘A)↑2)) = 0 ↔ A = 0)
44	3, 14, 43	3bitr 155	1 ⊢ ((abs ‘A) = 0 ↔ A = 0)

Syntax hints:   ↔ wb 127   ∧ wa 196   = wceq 1091   ∈ wcel 1092   class class class wbr 2054   ‘cfv 2422  (class class class)co 3001  ℂcc 4026  ℝcr 4027  0cc0 4028  ici 4030   + caddc 4031   · cmulc 4032   ≤ cle 4092  2c2 4454  ↑cexp 4675  √csqr 4727  ℜcre 4786  ℑcim 4787  abscabs 4789

This theorem is referenced by:  absgt0 4842  abslem2i 4866  clim0 4882  bcs 5101  pjthlem11 5235

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-sup 2154  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1st 3087  df-2nd 3088  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-i 4037  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-div 4216  df-le 4277  df-n 4423  df-2 4462  df-n0 4535  df-z 4564  df-seq 4661  df-exp 4676  df-sqr 4728  df-re 4790  df-im 4791  df-cj 4792  df-abs 4793

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