Theorem abstri 4859

Description: Triangle inequality for absolute value. Proposition 10-3.7(h) of [Gleason] p. 133.

Hypotheses

Ref	Expression
releabs.1	⊢ A ∈ ℂ
abstri.2	⊢ B ∈ ℂ

Assertion

Ref	Expression
abstri	⊢ (abs ‘(A + B)) ≤ ((abs ‘A) + (abs ‘B))

Proof of Theorem abstri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		releabs.1	. . . . . . . 8 ⊢ A ∈ ℂ
2		abstri.2	. . . . . . . . 9 ⊢ B ∈ ℂ
3	2	cjcl 4804	. . . . . . . 8 ⊢ (∗ ‘B) ∈ ℂ
4	1, 3	mulcl 4105	. . . . . . 7 ⊢ (A · (∗ ‘B)) ∈ ℂ
5	4	releabs 4858	. . . . . 6 ⊢ (ℜ ‘(A · (∗ ‘B))) ≤ (abs ‘(A · (∗ ‘B)))
6	1, 3	absmul 4846	. . . . . . 7 ⊢ (abs ‘(A · (∗ ‘B))) = ((abs ‘A) · (abs ‘(∗ ‘B)))
7	2	abscj 4844	. . . . . . . 8 ⊢ (abs ‘B) = (abs ‘(∗ ‘B))
8	7	opreq2i 3010	. . . . . . 7 ⊢ ((abs ‘A) · (abs ‘B)) = ((abs ‘A) · (abs ‘(∗ ‘B)))
9	6, 8	eqtr4 1122	. . . . . 6 ⊢ (abs ‘(A · (∗ ‘B))) = ((abs ‘A) · (abs ‘B))
10	5, 9	breqtr 2080	. . . . 5 ⊢ (ℜ ‘(A · (∗ ‘B))) ≤ ((abs ‘A) · (abs ‘B))
11		2pos 4479	. . . . . 6 ⊢ 0 < 2
12	4	recl 4802	. . . . . . 7 ⊢ (ℜ ‘(A · (∗ ‘B))) ∈ ℝ
13	1	abscl 4840	. . . . . . . 8 ⊢ (abs ‘A) ∈ ℝ
14	2	abscl 4840	. . . . . . . 8 ⊢ (abs ‘B) ∈ ℝ
15	13, 14	remulcl 4119	. . . . . . 7 ⊢ ((abs ‘A) · (abs ‘B)) ∈ ℝ
16		2re 4470	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
17	12, 15, 16	lemul2 4396	. . . . . 6 ⊢ (0 < 2 → ((ℜ ‘(A · (∗ ‘B))) ≤ ((abs ‘A) · (abs ‘B)) ↔ (2 · (ℜ ‘(A · (∗ ‘B)))) ≤ (2 · ((abs ‘A) · (abs ‘B)))))
18	11, 17	ax-mp 6	. . . . 5 ⊢ ((ℜ ‘(A · (∗ ‘B))) ≤ ((abs ‘A) · (abs ‘B)) ↔ (2 · (ℜ ‘(A · (∗ ‘B)))) ≤ (2 · ((abs ‘A) · (abs ‘B))))
19	10, 18	mpbi 164	. . . 4 ⊢ (2 · (ℜ ‘(A · (∗ ‘B)))) ≤ (2 · ((abs ‘A) · (abs ‘B)))
20	16, 12	remulcl 4119	. . . . 5 ⊢ (2 · (ℜ ‘(A · (∗ ‘B)))) ∈ ℝ
21	16, 15	remulcl 4119	. . . . 5 ⊢ (2 · ((abs ‘A) · (abs ‘B))) ∈ ℝ
22	13	sqrecl 4699	. . . . . 6 ⊢ ((abs ‘A)↑2) ∈ ℝ
23	14	sqrecl 4699	. . . . . 6 ⊢ ((abs ‘B)↑2) ∈ ℝ
24	22, 23	readdcl 4118	. . . . 5 ⊢ (((abs ‘A)↑2) + ((abs ‘B)↑2)) ∈ ℝ
25	20, 21, 24	leadd2 4315	. . . 4 ⊢ ((2 · (ℜ ‘(A · (∗ ‘B)))) ≤ (2 · ((abs ‘A) · (abs ‘B))) ↔ ((((abs ‘A)↑2) + ((abs ‘B)↑2)) + (2 · (ℜ ‘(A · (∗ ‘B))))) ≤ ((((abs ‘A)↑2) + ((abs ‘B)↑2)) + (2 · ((abs ‘A) · (abs ‘B)))))
26	19, 25	mpbi 164	. . 3 ⊢ ((((abs ‘A)↑2) + ((abs ‘B)↑2)) + (2 · (ℜ ‘(A · (∗ ‘B))))) ≤ ((((abs ‘A)↑2) + ((abs ‘B)↑2)) + (2 · ((abs ‘A) · (abs ‘B))))
27	1, 2	sqabsadd 4847	. . 3 ⊢ ((abs ‘(A + B))↑2) = ((((abs ‘A)↑2) + ((abs ‘B)↑2)) + (2 · (ℜ ‘(A · (∗ ‘B)))))
28	13	recn 4098	. . . . 5 ⊢ (abs ‘A) ∈ ℂ
29	14	recn 4098	. . . . 5 ⊢ (abs ‘B) ∈ ℂ
30	28, 29	binom 4712	. . . 4 ⊢ (((abs ‘A) + (abs ‘B))↑2) = ((((abs ‘A)↑2) + (2 · ((abs ‘A) · (abs ‘B)))) + ((abs ‘B)↑2))
31	28	sqcl 4686	. . . . 5 ⊢ ((abs ‘A)↑2) ∈ ℂ
32	21	recn 4098	. . . . 5 ⊢ (2 · ((abs ‘A) · (abs ‘B))) ∈ ℂ
33	29	sqcl 4686	. . . . 5 ⊢ ((abs ‘B)↑2) ∈ ℂ
34	31, 32, 33	add23 4129	. . . 4 ⊢ ((((abs ‘A)↑2) + (2 · ((abs ‘A) · (abs ‘B)))) + ((abs ‘B)↑2)) = ((((abs ‘A)↑2) + ((abs ‘B)↑2)) + (2 · ((abs ‘A) · (abs ‘B))))
35	30, 34	eqtr 1119	. . 3 ⊢ (((abs ‘A) + (abs ‘B))↑2) = ((((abs ‘A)↑2) + ((abs ‘B)↑2)) + (2 · ((abs ‘A) · (abs ‘B))))
36	26, 27, 35	3brtr4 2085	. 2 ⊢ ((abs ‘(A + B))↑2) ≤ (((abs ‘A) + (abs ‘B))↑2)
37	1, 2	addcl 4104	. . . 4 ⊢ (A + B) ∈ ℂ
38	37	absge0 4841	. . 3 ⊢ 0 ≤ (abs ‘(A + B))
39	1	absge0 4841	. . . 4 ⊢ 0 ≤ (abs ‘A)
40	2	absge0 4841	. . . 4 ⊢ 0 ≤ (abs ‘B)
41	13, 14	addge0 4324	. . . 4 ⊢ ((0 ≤ (abs ‘A) ∧ 0 ≤ (abs ‘B)) → 0 ≤ ((abs ‘A) + (abs ‘B)))
42	39, 40, 41	mp2an 520	. . 3 ⊢ 0 ≤ ((abs ‘A) + (abs ‘B))
43	37	abscl 4840	. . . 4 ⊢ (abs ‘(A + B)) ∈ ℝ
44	13, 14	readdcl 4118	. . . 4 ⊢ ((abs ‘A) + (abs ‘B)) ∈ ℝ
45	43, 44	le2sqe 4701	. . 3 ⊢ ((0 ≤ (abs ‘(A + B)) ∧ 0 ≤ ((abs ‘A) + (abs ‘B))) → ((abs ‘(A + B)) ≤ ((abs ‘A) + (abs ‘B)) ↔ ((abs ‘(A + B))↑2) ≤ (((abs ‘A) + (abs ‘B))↑2)))
46	38, 42, 45	mp2an 520	. 2 ⊢ ((abs ‘(A + B)) ≤ ((abs ‘A) + (abs ‘B)) ↔ ((abs ‘(A + B))↑2) ≤ (((abs ‘A) + (abs ‘B))↑2))
47	36, 46	mpbir 165	1 ⊢ (abs ‘(A + B)) ≤ ((abs ‘A) + (abs ‘B))

Syntax hints:   ↔ wb 127   ∈ wcel 1092   class class class wbr 2054   ‘cfv 2422  (class class class)co 3001  ℂcc 4026  0cc0 4028   + caddc 4031   · cmulc 4032   < clt 4033   ≤ cle 4092  2c2 4454  ↑cexp 4675  ℜcre 4786  ∗ccj 4788  abscabs 4789

This theorem is referenced by:  abs3dif 4860

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-sup 2154  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1st 3087  df-2nd 3088  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-i 4037  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-div 4216  df-le 4277  df-n 4423  df-2 4462  df-n0 4535  df-z 4564  df-seq 4661  df-exp 4676  df-sqr 4728  df-re 4790  df-im 4791  df-cj 4792  df-abs 4793

metamath.org