Theorem ac6s2 3578

Description: Generalization of the Axiom of Choice to classes. Theorem 10.46 of [TakeutiZaring] p. 97.

Hypotheses

Ref	Expression
ac6s.1	⊢ A ∈ V
ac6s.2	⊢ (y = (f ‘x) → (φ ↔ ψ))

Assertion

Ref	Expression
ac6s2	⊢ (∀x ∈ A ∃yφ → ∃f∀x ∈ A ψ)

Distinct variable group(s):   x,y,f,A   φ,f   ψ,y

Proof of Theorem ac6s2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexv 1358	. . 3 ⊢ (∃y ∈ V φ ↔ ∃yφ)
2	1	biral 1223	. 2 ⊢ (∀x ∈ A ∃y ∈ V φ ↔ ∀x ∈ A ∃yφ)
3		ac6s.1	. . . 4 ⊢ A ∈ V
4		ac6s.2	. . . 4 ⊢ (y = (f ‘x) → (φ ↔ ψ))
5	3, 4	ac6s 3577	. . 3 ⊢ (∀x ∈ A ∃y ∈ V φ → ∃f(f:A–→V ∧ ∀x ∈ A ψ))
6		pm3.27 260	. . . 4 ⊢ ((f:A–→V ∧ ∀x ∈ A ψ) → ∀x ∈ A ψ)
7	6	19.22i 723	. . 3 ⊢ (∃f(f:A–→V ∧ ∀x ∈ A ψ) → ∃f∀x ∈ A ψ)
8	5, 7	syl 12	. 2 ⊢ (∀x ∈ A ∃y ∈ V φ → ∃f∀x ∈ A ψ)
9	2, 8	sylbir 176	1 ⊢ (∀x ∈ A ∃yφ → ∃f∀x ∈ A ψ)

Syntax hints:   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196  ∃wex 678   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ∀wral 1201  ∃wrex 1202  Vcvv 1348  –→wf 2418   ‘cfv 2422

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079  ax-ac 1080

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-iin 1997  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-r1 3487  df-rank 3488

metamath.org