Theorem aceq0 3553

Description: Equivalence of two versions of the Axiom of Choice. The proof uses neither AC nor the Axiom of Regularity. The right-hand side is our original ax-ac 1080.

Assertion

Ref	Expression
aceq0	⊢ (∃y∀z ∈ x ∀w ∈ z ∃!v ∈ z ∃u ∈ y (z ∈ u ∧ v ∈ u) ↔ ∃y∀z∀w((z ∈ w ∧ w ∈ x) → ∃v∀u(∃t((u ∈ w ∧ w ∈ t) ∧ (u ∈ t ∧ t ∈ y)) ↔ u = v)))

Distinct variable group(s):   x,y,z,w,v,u,t

Proof of Theorem aceq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aceq1 3552	. 2 ⊢ (∃y∀z ∈ x ∀w ∈ z ∃!v ∈ z ∃u ∈ y (z ∈ u ∧ v ∈ u) ↔ ∃y∀z∀w((z ∈ w ∧ w ∈ x) → ∃x∀z(∃x((z ∈ w ∧ w ∈ x) ∧ (z ∈ x ∧ x ∈ y)) ↔ z = x)))
2		eqt2b 818	. . . . . . . . . 10 ⊢ (v = x → (u = v ↔ u = x))
3	2	bibi2d 470	. . . . . . . . 9 ⊢ (v = x → ((∃t((u ∈ w ∧ w ∈ t) ∧ (u ∈ t ∧ t ∈ y)) ↔ u = v) ↔ (∃t((u ∈ w ∧ w ∈ t) ∧ (u ∈ t ∧ t ∈ y)) ↔ u = x)))
4		a14b 820	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (t = x → (w ∈ t ↔ w ∈ x))
5	4	anbi2d 468	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (t = x → ((u ∈ w ∧ w ∈ t) ↔ (u ∈ w ∧ w ∈ x)))
6		a14b 820	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (t = x → (u ∈ t ↔ u ∈ x))
7		a13b 819	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (t = x → (t ∈ y ↔ x ∈ y))
8	6, 7	anbi12d 476	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (t = x → ((u ∈ t ∧ t ∈ y) ↔ (u ∈ x ∧ x ∈ y)))
9	5, 8	anbi12d 476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (t = x → (((u ∈ w ∧ w ∈ t) ∧ (u ∈ t ∧ t ∈ y)) ↔ ((u ∈ w ∧ w ∈ x) ∧ (u ∈ x ∧ x ∈ y))))
10	9	cbvexv 973	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃t((u ∈ w ∧ w ∈ t) ∧ (u ∈ t ∧ t ∈ y)) ↔ ∃x((u ∈ w ∧ w ∈ x) ∧ (u ∈ x ∧ x ∈ y)))
11	10	bibi1i 461	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∃t((u ∈ w ∧ w ∈ t) ∧ (u ∈ t ∧ t ∈ y)) ↔ u = x) ↔ (∃x((u ∈ w ∧ w ∈ x) ∧ (u ∈ x ∧ x ∈ y)) ↔ u = x))
12	3, 11	syl6bb 414	. . . . . . . 8 ⊢ (v = x → ((∃t((u ∈ w ∧ w ∈ t) ∧ (u ∈ t ∧ t ∈ y)) ↔ u = v) ↔ (∃x((u ∈ w ∧ w ∈ x) ∧ (u ∈ x ∧ x ∈ y)) ↔ u = x)))
13	12	bialdv 935	. . . . . . 7 ⊢ (v = x → (∀u(∃t((u ∈ w ∧ w ∈ t) ∧ (u ∈ t ∧ t ∈ y)) ↔ u = v) ↔ ∀u(∃x((u ∈ w ∧ w ∈ x) ∧ (u ∈ x ∧ x ∈ y)) ↔ u = x)))
14		a13b 819	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (u = z → (u ∈ w ↔ z ∈ w))
15	14	anbi1d 469	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (u = z → ((u ∈ w ∧ w ∈ x) ↔ (z ∈ w ∧ w ∈ x)))
16		a13b 819	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (u = z → (u ∈ x ↔ z ∈ x))
17	16	anbi1d 469	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (u = z → ((u ∈ x ∧ x ∈ y) ↔ (z ∈ x ∧ x ∈ y)))
18	15, 17	anbi12d 476	. . . . . . . . . 10 ⊢ (u = z → (((u ∈ w ∧ w ∈ x) ∧ (u ∈ x ∧ x ∈ y)) ↔ ((z ∈ w ∧ w ∈ x) ∧ (z ∈ x ∧ x ∈ y))))
19	18	biexdv 936	. . . . . . . . 9 ⊢ (u = z → (∃x((u ∈ w ∧ w ∈ x) ∧ (u ∈ x ∧ x ∈ y)) ↔ ∃x((z ∈ w ∧ w ∈ x) ∧ (z ∈ x ∧ x ∈ y))))
20		a8b 817	. . . . . . . . 9 ⊢ (u = z → (u = x ↔ z = x))
21	19, 20	bibi12d 477	. . . . . . . 8 ⊢ (u = z → ((∃x((u ∈ w ∧ w ∈ x) ∧ (u ∈ x ∧ x ∈ y)) ↔ u = x) ↔ (∃x((z ∈ w ∧ w ∈ x) ∧ (z ∈ x ∧ x ∈ y)) ↔ z = x)))
22	21	cbvalv 972	. . . . . . 7 ⊢ (∀u(∃x((u ∈ w ∧ w ∈ x) ∧ (u ∈ x ∧ x ∈ y)) ↔ u = x) ↔ ∀z(∃x((z ∈ w ∧ w ∈ x) ∧ (z ∈ x ∧ x ∈ y)) ↔ z = x))
23	13, 22	syl6bb 414	. . . . . 6 ⊢ (v = x → (∀u(∃t((u ∈ w ∧ w ∈ t) ∧ (u ∈ t ∧ t ∈ y)) ↔ u = v) ↔ ∀z(∃x((z ∈ w ∧ w ∈ x) ∧ (z ∈ x ∧ x ∈ y)) ↔ z = x)))
24	23	cbvexv 973	. . . . 5 ⊢ (∃v∀u(∃t((u ∈ w ∧ w ∈ t) ∧ (u ∈ t ∧ t ∈ y)) ↔ u = v) ↔ ∃x∀z(∃x((z ∈ w ∧ w ∈ x) ∧ (z ∈ x ∧ x ∈ y)) ↔ z = x))
25	24	imbi2i 160	. . . 4 ⊢ (((z ∈ w ∧ w ∈ x) → ∃v∀u(∃t((u ∈ w ∧ w ∈ t) ∧ (u ∈ t ∧ t ∈ y)) ↔ u = v)) ↔ ((z ∈ w ∧ w ∈ x) → ∃x∀z(∃x((z ∈ w ∧ w ∈ x) ∧ (z ∈ x ∧ x ∈ y)) ↔ z = x)))
26	25	bi2al 696	. . 3 ⊢ (∀z∀w((z ∈ w ∧ w ∈ x) → ∃v∀u(∃t((u ∈ w ∧ w ∈ t) ∧ (u ∈ t ∧ t ∈ y)) ↔ u = v)) ↔ ∀z∀w((z ∈ w ∧ w ∈ x) → ∃x∀z(∃x((z ∈ w ∧ w ∈ x) ∧ (z ∈ x ∧ x ∈ y)) ↔ z = x)))
27	26	biex 733	. 2 ⊢ (∃y∀z∀w((z ∈ w ∧ w ∈ x) → ∃v∀u(∃t((u ∈ w ∧ w ∈ t) ∧ (u ∈ t ∧ t ∈ y)) ↔ u = v)) ↔ ∃y∀z∀w((z ∈ w ∧ w ∈ x) → ∃x∀z(∃x((z ∈ w ∧ w ∈ x) ∧ (z ∈ x ∧ x ∈ y)) ↔ z = x)))
28	1, 27	bitr4 154	1 ⊢ (∃y∀z ∈ x ∀w ∈ z ∃!v ∈ z ∃u ∈ y (z ∈ u ∧ v ∈ u) ↔ ∃y∀z∀w((z ∈ w ∧ w ∈ x) → ∃v∀u(∃t((u ∈ w ∧ w ∈ t) ∧ (u ∈ t ∧ t ∈ y)) ↔ u = v)))

Syntax hints:   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196  ∀wal 672  ∃wex 678   = weq 797   ∈ wel 803  ∀wral 1201  ∃wrex 1202  ∃!wreu 1203

This theorem is referenced by:  ac2 3567

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-17 925  ax-ext 1074

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207

metamath.org