Theorem aceq2 3554

Description: Equivalence of two versions of the Axiom of Choice. The proof uses neither AC nor the Axiom of Regularity.

Assertion

Ref	Expression
aceq2	⊢ (∃y∀z ∈ x ∀w ∈ z ∃!v ∈ z ∃u ∈ y (z ∈ u ∧ v ∈ u) ↔ ∃y∀z ∈ x (¬ z = ∅ → ∃!w ∈ z ∃v ∈ y (z ∈ v ∧ w ∈ v)))

Distinct variable group(s):   x,y,z,w,v,u

Proof of Theorem aceq2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pm4.2i 149	. . . . 5 ⊢ (w = t → (∃!v ∈ z ∃u ∈ y (z ∈ u ∧ v ∈ u) ↔ ∃!v ∈ z ∃u ∈ y (z ∈ u ∧ v ∈ u)))
2	1	cbvralv 1333	. . . 4 ⊢ (∀w ∈ z ∃!v ∈ z ∃u ∈ y (z ∈ u ∧ v ∈ u) ↔ ∀t ∈ z ∃!v ∈ z ∃u ∈ y (z ∈ u ∧ v ∈ u))
3		df-ral 1205	. . . . . 6 ⊢ (∀t ∈ z ∃!v ∈ z ∃u ∈ y (z ∈ u ∧ v ∈ u) ↔ ∀t(t ∈ z → ∃!v ∈ z ∃u ∈ y (z ∈ u ∧ v ∈ u)))
4		19.23v 950	. . . . . 6 ⊢ (∀t(t ∈ z → ∃!v ∈ z ∃u ∈ y (z ∈ u ∧ v ∈ u)) ↔ (∃t t ∈ z → ∃!v ∈ z ∃u ∈ y (z ∈ u ∧ v ∈ u)))
5	3, 4	bitr 151	. . . . 5 ⊢ (∀t ∈ z ∃!v ∈ z ∃u ∈ y (z ∈ u ∧ v ∈ u) ↔ (∃t t ∈ z → ∃!v ∈ z ∃u ∈ y (z ∈ u ∧ v ∈ u)))
6		n0 1714	. . . . . . 7 ⊢ (¬ z = ∅ ↔ ∃t t ∈ z)
7		eleq2 1150	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (v = u → (z ∈ v ↔ z ∈ u))
8		eleq2 1150	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (v = u → (w ∈ v ↔ w ∈ u))
9	7, 8	anbi12d 476	. . . . . . . . . 10 ⊢ (v = u → ((z ∈ v ∧ w ∈ v) ↔ (z ∈ u ∧ w ∈ u)))
10	9	cbvrexv 1334	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃v ∈ y (z ∈ v ∧ w ∈ v) ↔ ∃u ∈ y (z ∈ u ∧ w ∈ u))
11	10	bireu 1320	. . . . . . . 8 ⊢ (∃!w ∈ z ∃v ∈ y (z ∈ v ∧ w ∈ v) ↔ ∃!w ∈ z ∃u ∈ y (z ∈ u ∧ w ∈ u))
12		eleq1 1149	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (w = v → (w ∈ u ↔ v ∈ u))
13	12	anbi2d 468	. . . . . . . . . 10 ⊢ (w = v → ((z ∈ u ∧ w ∈ u) ↔ (z ∈ u ∧ v ∈ u)))
14	13	birexdv 1220	. . . . . . . . 9 ⊢ (w = v → (∃u ∈ y (z ∈ u ∧ w ∈ u) ↔ ∃u ∈ y (z ∈ u ∧ v ∈ u)))
15	14	cbvreuv 1335	. . . . . . . 8 ⊢ (∃!w ∈ z ∃u ∈ y (z ∈ u ∧ w ∈ u) ↔ ∃!v ∈ z ∃u ∈ y (z ∈ u ∧ v ∈ u))
16	11, 15	bitr 151	. . . . . . 7 ⊢ (∃!w ∈ z ∃v ∈ y (z ∈ v ∧ w ∈ v) ↔ ∃!v ∈ z ∃u ∈ y (z ∈ u ∧ v ∈ u))
17	6, 16	imbi12i 163	. . . . . 6 ⊢ ((¬ z = ∅ → ∃!w ∈ z ∃v ∈ y (z ∈ v ∧ w ∈ v)) ↔ (∃t t ∈ z → ∃!v ∈ z ∃u ∈ y (z ∈ u ∧ v ∈ u)))
18	17	bicomi 150	. . . . 5 ⊢ ((∃t t ∈ z → ∃!v ∈ z ∃u ∈ y (z ∈ u ∧ v ∈ u)) ↔ (¬ z = ∅ → ∃!w ∈ z ∃v ∈ y (z ∈ v ∧ w ∈ v)))
19	5, 18	bitr 151	. . . 4 ⊢ (∀t ∈ z ∃!v ∈ z ∃u ∈ y (z ∈ u ∧ v ∈ u) ↔ (¬ z = ∅ → ∃!w ∈ z ∃v ∈ y (z ∈ v ∧ w ∈ v)))
20	2, 19	bitr 151	. . 3 ⊢ (∀w ∈ z ∃!v ∈ z ∃u ∈ y (z ∈ u ∧ v ∈ u) ↔ (¬ z = ∅ → ∃!w ∈ z ∃v ∈ y (z ∈ v ∧ w ∈ v)))
21	20	biral 1223	. 2 ⊢ (∀z ∈ x ∀w ∈ z ∃!v ∈ z ∃u ∈ y (z ∈ u ∧ v ∈ u) ↔ ∀z ∈ x (¬ z = ∅ → ∃!w ∈ z ∃v ∈ y (z ∈ v ∧ w ∈ v)))
22	21	biex 733	1 ⊢ (∃y∀z ∈ x ∀w ∈ z ∃!v ∈ z ∃u ∈ y (z ∈ u ∧ v ∈ u) ↔ ∃y∀z ∈ x (¬ z = ∅ → ∃!w ∈ z ∃v ∈ y (z ∈ v ∧ w ∈ v)))

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196  ∀wal 672  ∃wex 678   = weq 797   ∈ wel 803   = wceq 1091  ∀wral 1201  ∃wrex 1202  ∃!wreu 1203  ∅c0 1707

This theorem is referenced by:  aceq7 3566  ac3 3568

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-v 1349  df-dif 1489  df-nul 1708

metamath.org