Theorem aceq5lem4 3561

Description: Lemma for aceq5 3563.

Hypotheses

Ref	Expression
aceq5lem.1	⊢ A = {u∣(¬ u = ∅ ∧ ∃t ∈ h u = ({t} × t))}
aceq5lem.2	⊢ B = (∪A ∩ y)
aceq5lem.3	⊢ (φ ↔ ∀x((∀z ∈ x ¬ z = ∅ ∧ ∀z ∈ x ∀w ∈ x (¬ z = w → (z ∩ w) = ∅)) → ∃y∀z ∈ x ∃!v v ∈ (z ∩ y)))

Assertion

Ref	Expression
aceq5lem4	⊢ (φ → ∃y∀z ∈ A ∃!v v ∈ (z ∩ y))

Distinct variable group(s):   x,z,y,w,v,u,t,h   z,B,w   x,A,y,z,w

Proof of Theorem aceq5lem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aceq5lem.1	. . . . 5 ⊢ A = {u∣(¬ u = ∅ ∧ ∃t ∈ h u = ({t} × t))}
2	1	eleq2i 1153	. . . 4 ⊢ (z ∈ A ↔ z ∈ {u∣(¬ u = ∅ ∧ ∃t ∈ h u = ({t} × t))})
3		visset 1350	. . . . . 6 ⊢ z ∈ V
4		cleq1 1107	. . . . . . . 8 ⊢ (u = z → (u = ∅ ↔ z = ∅))
5	4	negbid 463	. . . . . . 7 ⊢ (u = z → (¬ u = ∅ ↔ ¬ z = ∅))
6		cleq1 1107	. . . . . . . 8 ⊢ (u = z → (u = ({t} × t) ↔ z = ({t} × t)))
7	6	birexdv 1220	. . . . . . 7 ⊢ (u = z → (∃t ∈ h u = ({t} × t) ↔ ∃t ∈ h z = ({t} × t)))
8	5, 7	anbi12d 476	. . . . . 6 ⊢ (u = z → ((¬ u = ∅ ∧ ∃t ∈ h u = ({t} × t)) ↔ (¬ z = ∅ ∧ ∃t ∈ h z = ({t} × t))))
9	3, 8	elab 1415	. . . . 5 ⊢ (z ∈ {u∣(¬ u = ∅ ∧ ∃t ∈ h u = ({t} × t))} ↔ (¬ z = ∅ ∧ ∃t ∈ h z = ({t} × t)))
10	9	pm3.26bd 259	. . . 4 ⊢ (z ∈ {u∣(¬ u = ∅ ∧ ∃t ∈ h u = ({t} × t))} → ¬ z = ∅)
11	2, 10	sylbi 174	. . 3 ⊢ (z ∈ A → ¬ z = ∅)
12	11	rgen 1247	. 2 ⊢ ∀z ∈ A ¬ z = ∅
13		eleq2 1150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (z = ({t} × t) → (x ∈ z ↔ x ∈ ({t} × t)))
14		elxp 2442	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (x ∈ ({t} × t) ↔ ∃u∃v(x = ⟨u, v⟩ ∧ (u ∈ {t} ∧ v ∈ t)))
15		excom 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (∃u∃v(x = ⟨u, v⟩ ∧ (u ∈ {t} ∧ v ∈ t)) ↔ ∃v∃u(x = ⟨u, v⟩ ∧ (u ∈ {t} ∧ v ∈ t)))
16	14, 15	bitr 151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (x ∈ ({t} × t) ↔ ∃v∃u(x = ⟨u, v⟩ ∧ (u ∈ {t} ∧ v ∈ t)))
17	13, 16	syl6bb 414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (z = ({t} × t) → (x ∈ z ↔ ∃v∃u(x = ⟨u, v⟩ ∧ (u ∈ {t} ∧ v ∈ t))))
18		eleq2 1150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (w = ({g} × g) → (x ∈ w ↔ x ∈ ({g} × g)))
19		elxp 2442	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (x ∈ ({g} × g) ↔ ∃u∃y(x = ⟨u, y⟩ ∧ (u ∈ {g} ∧ y ∈ g)))
20		excom 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (∃u∃y(x = ⟨u, y⟩ ∧ (u ∈ {g} ∧ y ∈ g)) ↔ ∃y∃u(x = ⟨u, y⟩ ∧ (u ∈ {g} ∧ y ∈ g)))
21	19, 20	bitr 151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (x ∈ ({g} × g) ↔ ∃y∃u(x = ⟨u, y⟩ ∧ (u ∈ {g} ∧ y ∈ g)))
22	18, 21	syl6bb 414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (w = ({g} × g) → (x ∈ w ↔ ∃y∃u(x = ⟨u, y⟩ ∧ (u ∈ {g} ∧ y ∈ g))))
23	17, 22	bi2anan9 478	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((z = ({t} × t) ∧ w = ({g} × g)) → ((x ∈ z ∧ x ∈ w) ↔ (∃v∃u(x = ⟨u, v⟩ ∧ (u ∈ {t} ∧ v ∈ t)) ∧ ∃y∃u(x = ⟨u, y⟩ ∧ (u ∈ {g} ∧ y ∈ g)))))
24		eeanv 980	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (∃v∃y(∃u(x = ⟨u, v⟩ ∧ (u ∈ {t} ∧ v ∈ t)) ∧ ∃u(x = ⟨u, y⟩ ∧ (u ∈ {g} ∧ y ∈ g))) ↔ (∃v∃u(x = ⟨u, v⟩ ∧ (u ∈ {t} ∧ v ∈ t)) ∧ ∃y∃u(x = ⟨u, y⟩ ∧ (u ∈ {g} ∧ y ∈ g))))
25	23, 24	syl6bbr 416	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((z = ({t} × t) ∧ w = ({g} × g)) → ((x ∈ z ∧ x ∈ w) ↔ ∃v∃y(∃u(x = ⟨u, v⟩ ∧ (u ∈ {t} ∧ v ∈ t)) ∧ ∃u(x = ⟨u, y⟩ ∧ (u ∈ {g} ∧ y ∈ g)))))
26		opeq1 1876	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (u = t → ⟨u, v⟩ = ⟨t, v⟩)
27	26	cleq2d 1112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (u = t → (x = ⟨u, v⟩ ↔ x = ⟨t, v⟩))
28	27	biimpac 326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((x = ⟨u, v⟩ ∧ u = t) → x = ⟨t, v⟩)
29		elsn 1820	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (u ∈ {t} ↔ u = t)
30	28, 29	sylan2b 347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((x = ⟨u, v⟩ ∧ u ∈ {t}) → x = ⟨t, v⟩)
31	30	adantrr 312	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((x = ⟨u, v⟩ ∧ (u ∈ {t} ∧ v ∈ t)) → x = ⟨t, v⟩)
32	31	19.23aiv 952	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (∃u(x = ⟨u, v⟩ ∧ (u ∈ {t} ∧ v ∈ t)) → x = ⟨t, v⟩)
33		opeq1 1876	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (u = g → ⟨u, y⟩ = ⟨g, y⟩)
34	33	cleq2d 1112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (u = g → (x = ⟨u, y⟩ ↔ x = ⟨g, y⟩))
35	34	biimpac 326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((x = ⟨u, y⟩ ∧ u = g) → x = ⟨g, y⟩)
36		elsn 1820	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (u ∈ {g} ↔ u = g)
37	35, 36	sylan2b 347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((x = ⟨u, y⟩ ∧ u ∈ {g}) → x = ⟨g, y⟩)
38	37	adantrr 312	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((x = ⟨u, y⟩ ∧ (u ∈ {g} ∧ y ∈ g)) → x = ⟨g, y⟩)
39	38	19.23aiv 952	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (∃u(x = ⟨u, y⟩ ∧ (u ∈ {g} ∧ y ∈ g)) → x = ⟨g, y⟩)
40	32, 39	anim12i 268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((∃u(x = ⟨u, v⟩ ∧ (u ∈ {t} ∧ v ∈ t)) ∧ ∃u(x = ⟨u, y⟩ ∧ (u ∈ {g} ∧ y ∈ g))) → (x = ⟨t, v⟩ ∧ x = ⟨g, y⟩))
41		cleqtr 1118	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((⟨t, v⟩ = x ∧ x = ⟨g, y⟩) → ⟨t, v⟩ = ⟨g, y⟩)
42		cleqcom 1103	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (x = ⟨t, v⟩ ↔ ⟨t, v⟩ = x)
43	41, 42	sylanb 344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((x = ⟨t, v⟩ ∧ x = ⟨g, y⟩) → ⟨t, v⟩ = ⟨g, y⟩)
44		visset 1350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ t ∈ V
45		visset 1350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ v ∈ V
46		visset 1350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ y ∈ V
47	44, 45, 46	opth 1898	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (⟨t, v⟩ = ⟨g, y⟩ ↔ (t = g ∧ v = y))
48	47	pm3.26bd 259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (⟨t, v⟩ = ⟨g, y⟩ → t = g)
49	40, 43, 48	3syl 21	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((∃u(x = ⟨u, v⟩ ∧ (u ∈ {t} ∧ v ∈ t)) ∧ ∃u(x = ⟨u, y⟩ ∧ (u ∈ {g} ∧ y ∈ g))) → t = g)
50	49	19.23aivv 953	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (∃v∃y(∃u(x = ⟨u, v⟩ ∧ (u ∈ {t} ∧ v ∈ t)) ∧ ∃u(x = ⟨u, y⟩ ∧ (u ∈ {g} ∧ y ∈ g))) → t = g)
51	25, 50	syl6bi 187	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((z = ({t} × t) ∧ w = ({g} × g)) → ((x ∈ z ∧ x ∈ w) → t = g))
52		sneq 1816	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (t = g → {t} = {g})
53		xpeq1 2440	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ({t} = {g} → ({t} × t) = ({g} × t))
54	52, 53	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (t = g → ({t} × t) = ({g} × t))
55		xpeq2 2441	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (t = g → ({g} × t) = ({g} × g))
56	54, 55	eqtrd 1128	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (t = g → ({t} × t) = ({g} × g))
57	51, 56	syl6 23	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((z = ({t} × t) ∧ w = ({g} × g)) → ((x ∈ z ∧ x ∈ w) → ({t} × t) = ({g} × g)))
58		cleq12 1113	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((z = ({t} × t) ∧ w = ({g} × g)) → (z = w ↔ ({t} × t) = ({g} × g)))
59	57, 58	sylibrd 179	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((z = ({t} × t) ∧ w = ({g} × g)) → ((x ∈ z ∧ x ∈ w) → z = w))
60	59	exp 291	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (z = ({t} × t) → (w = ({g} × g) → ((x ∈ z ∧ x ∈ w) → z = w)))
61	60	a1i 7	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (t ∈ h → (z = ({t} × t) → (w = ({g} × g) → ((x ∈ z ∧ x ∈ w) → z = w))))
62	61	r19.23aiv 1284	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃t ∈ h z = ({t} × t) → (w = ({g} × g) → ((x ∈ z ∧ x ∈ w) → z = w)))
63	62	a1d 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃t ∈ h z = ({t} × t) → (g ∈ h → (w = ({g} × g) → ((x ∈ z ∧ x ∈ w) → z = w))))
64	63	r19.23adv 1286	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃t ∈ h z = ({t} × t) → (∃g ∈ h w = ({g} × g) → ((x ∈ z ∧ x ∈ w) → z = w)))
65	64	imp 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((∃t ∈ h z = ({t} × t) ∧ ∃g ∈ h w = ({g} × g)) → ((x ∈ z ∧ x ∈ w) → z = w))
66	3, 8, 1	elab2 1419	. . . . . . . . 9 ⊢ (z ∈ A ↔ (¬ z = ∅ ∧ ∃t ∈ h z = ({t} × t)))
67	66	pm3.27bd 263	. . . . . . . 8 ⊢ (z ∈ A → ∃t ∈ h z = ({t} × t))
68		visset 1350	. . . . . . . . . . 11 ⊢ w ∈ V
69		cleq1 1107	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (u = w → (u = ∅ ↔ w = ∅))
70	69	negbid 463	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (u = w → (¬ u = ∅ ↔ ¬ w = ∅))
71		cleq1 1107	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (u = w → (u = ({t} × t) ↔ w = ({t} × t)))
72	71	birexdv 1220	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (u = w → (∃t ∈ h u = ({t} × t) ↔ ∃t ∈ h w = ({t} × t)))
73	70, 72	anbi12d 476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (u = w → ((¬ u = ∅ ∧ ∃t ∈ h u = ({t} × t)) ↔ (¬ w = ∅ ∧ ∃t ∈ h w = ({t} × t))))
74	68, 73, 1	elab2 1419	. . . . . . . . . 10 ⊢ (w ∈ A ↔ (¬ w = ∅ ∧ ∃t ∈ h w = ({t} × t)))
75	74	pm3.27bd 263	. . . . . . . . 9 ⊢ (w ∈ A → ∃t ∈ h w = ({t} × t))
76	56	cleq2d 1112	. . . . . . . . . 10 ⊢ (t = g → (w = ({t} × t) ↔ w = ({g} × g)))
77	76	cbvrexv 1334	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃t ∈ h w = ({t} × t) ↔ ∃g ∈ h w = ({g} × g))
78	75, 77	sylib 173	. . . . . . . 8 ⊢ (w ∈ A → ∃g ∈ h w = ({g} × g))
79	65, 67, 78	syl2an 349	. . . . . . 7 ⊢ ((z ∈ A ∧ w ∈ A) → ((x ∈ z ∧ x ∈ w) → z = w))
80		df-an 198	. . . . . . 7 ⊢ ((x ∈ z ∧ x ∈ w) ↔ ¬ (x ∈ z → ¬ x ∈ w))
81	79, 80	syl5ibr 182	. . . . . 6 ⊢ ((z ∈ A ∧ w ∈ A) → (¬ (x ∈ z → ¬ x ∈ w) → z = w))
82	81	con1d 85	. . . . 5 ⊢ ((z ∈ A ∧ w ∈ A) → (¬ z = w → (x ∈ z → ¬ x ∈ w)))
83	82	19.21adv 945	. . . 4 ⊢ ((z ∈ A ∧ w ∈ A) → (¬ z = w → ∀x(x ∈ z → ¬ x ∈ w)))
84		disj1 1734	. . . 4 ⊢ ((z ∩ w) = ∅ ↔ ∀x(x ∈ z → ¬ x ∈ w))
85	83, 84	syl6ibr 186	. . 3 ⊢ ((z ∈ A ∧ w ∈ A) → (¬ z = w → (z ∩ w) = ∅))
86	85	rgen2 1248	. 2 ⊢ ∀z ∈ A ∀w ∈ A (¬ z = w → (z ∩ w) = ∅)
87		aceq5lem.3	. . 3 ⊢ (φ ↔ ∀x((∀z ∈ x ¬ z = ∅ ∧ ∀z ∈ x ∀w ∈ x (¬ z = w → (z ∩ w) = ∅)) → ∃y∀z ∈ x ∃!v v ∈ (z ∩ y)))
88		visset 1350	. . . . . . 7 ⊢ h ∈ V
89	88	abrexex 2912	. . . . . 6 ⊢ {u∣∃t ∈ h u = ({t} × t)} ∈ V
90		pm3.27 260	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ u = ∅ ∧ ∃t ∈ h u = ({t} × t)) → ∃t ∈ h u = ({t} × t))
91	90	ss2abi 1552	. . . . . 6 ⊢ {u∣(¬ u = ∅ ∧ ∃t ∈ h u = ({t} × t))} ⊆ {u∣∃t ∈ h u = ({t} × t)}
92	89, 91	ssexi 1701	. . . . 5 ⊢ {u∣(¬ u = ∅ ∧ ∃t ∈ h u = ({t} × t))} ∈ V
93	1, 92	eqeltr 1159	. . . 4 ⊢ A ∈ V
94		raleq 1324	. . . . . 6 ⊢ (x = A → (∀z ∈ x ¬ z = ∅ ↔ ∀z ∈ A ¬ z = ∅))
95		raleq 1324	. . . . . . 7 ⊢ (x = A → (∀w ∈ x (¬ z = w → (z ∩ w) = ∅) ↔ ∀w ∈ A (¬ z = w → (z ∩ w) = ∅)))
96	95	raleqd 1327	. . . . . 6 ⊢ (x = A → (∀z ∈ x ∀w ∈ x (¬ z = w → (z ∩ w) = ∅) ↔ ∀z ∈ A ∀w ∈ A (¬ z = w → (z ∩ w) = ∅)))
97	94, 96	anbi12d 476	. . . . 5 ⊢ (x = A → ((∀z ∈ x ¬ z = ∅ ∧ ∀z ∈ x ∀w ∈ x (¬ z = w → (z ∩ w) = ∅)) ↔ (∀z ∈ A ¬ z = ∅ ∧ ∀z ∈ A ∀w ∈ A (¬ z = w → (z ∩ w) = ∅))))
98		raleq 1324	. . . . . 6 ⊢ (x = A → (∀z ∈ x ∃!v v ∈ (z ∩ y) ↔ ∀z ∈ A ∃!v v ∈ (z ∩ y)))
99	98	biexdv 936	. . . . 5 ⊢ (x = A → (∃y∀z ∈ x ∃!v v ∈ (z ∩ y) ↔ ∃y∀z ∈ A ∃!v v ∈ (z ∩ y)))
100	97, 99	imbi12d 474	. . . 4 ⊢ (x = A → (((∀z ∈ x ¬ z = ∅ ∧ ∀z ∈ x ∀w ∈ x (¬ z = w → (z ∩ w) = ∅)) → ∃y∀z ∈ x ∃!v v ∈ (z ∩ y)) ↔ ((∀z ∈ A ¬ z = ∅ ∧ ∀z ∈ A ∀w ∈ A (¬ z = w → (z ∩ w) = ∅)) → ∃y∀z ∈ A ∃!v v ∈ (z ∩ y))))
101	93, 100	cla4v 1400	. . 3 ⊢ (∀x((∀z ∈ x ¬ z = ∅ ∧ ∀z ∈ x ∀w ∈ x (¬ z = w → (z ∩ w) = ∅)) → ∃y∀z ∈ x ∃!v v ∈ (z ∩ y)) → ((∀z ∈ A ¬ z = ∅ ∧ ∀z ∈ A ∀w ∈ A (¬ z = w → (z ∩ w) = ∅)) → ∃y∀z ∈ A ∃!v v ∈ (z ∩ y)))
102	87, 101	sylbi 174	. 2 ⊢ (φ → ((∀z ∈ A ¬ z = ∅ ∧ ∀z ∈ A ∀w ∈ A (¬ z = w → (z ∩ w) = ∅)) → ∃y∀z ∈ A ∃!v v ∈ (z ∩ y)))
103	12, 86, 102	mp2ani 523	1 ⊢ (φ → ∃y∀z ∈ A ∃!v v ∈ (z ∩ y))

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196  ∀wal 672  ∃wex 678   = weq 797   ∈ wel 803  ∃!weu 1007  {cab 1090   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ∀wral 1201  ∃wrex 1202  Vcvv 1348   ∩ cin 1486  ∅c0 1707  {csn 1808  ⟨cop 1810  ∪cuni 1919   × cxp 2408

This theorem is referenced by:  aceq5lem5 3562

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-rab 1208  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-opab 2098  df-id 2125  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fv 2438

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