Theorem aceq6a 3564

Description: Our Axiom of Choice (in the form of ac3 3568) implies the Axiom of Choice (first form) of [Enderton] p. 49. The proof uses neither AC nor the Axiom of Regularity. See aceq6b 3565 for the converse (which does use the Axiom of Regularity).

Assertion

Ref	Expression
aceq6a	⊢ (∀x∃y∀z ∈ x (¬ z = ∅ → ∃!w ∈ z ∃v ∈ y (z ∈ v ∧ w ∈ v)) → ∀x∃f(f ⊆ x ∧ f Fn dom x))

Distinct variable group(s):   x,z,f,y,w,v

Proof of Theorem aceq6a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq2 1150	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (u = z → (w ∈ u ↔ w ∈ z))
2		eleq1 1149	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (u = z → (u ∈ v ↔ z ∈ v))
3	2	anbi1d 469	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (u = z → ((u ∈ v ∧ w ∈ v) ↔ (z ∈ v ∧ w ∈ v)))
4	3	birexdv 1220	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (u = z → (∃v ∈ y (u ∈ v ∧ w ∈ v) ↔ ∃v ∈ y (z ∈ v ∧ w ∈ v)))
5	1, 4	anbi12d 476	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (u = z → ((w ∈ u ∧ ∃v ∈ y (u ∈ v ∧ w ∈ v)) ↔ (w ∈ z ∧ ∃v ∈ y (z ∈ v ∧ w ∈ v))))
6	5	biabdv 1183	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (u = z → {w∣(w ∈ u ∧ ∃v ∈ y (u ∈ v ∧ w ∈ v))} = {w∣(w ∈ z ∧ ∃v ∈ y (z ∈ v ∧ w ∈ v))})
7		df-rab 1208	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {w ∈ u∣∃v ∈ y (u ∈ v ∧ w ∈ v)} = {w∣(w ∈ u ∧ ∃v ∈ y (u ∈ v ∧ w ∈ v))}
8		df-rab 1208	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {w ∈ z∣∃v ∈ y (z ∈ v ∧ w ∈ v)} = {w∣(w ∈ z ∧ ∃v ∈ y (z ∈ v ∧ w ∈ v))}
9	6, 7, 8	3eqtr4g 1147	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (u = z → {w ∈ u∣∃v ∈ y (u ∈ v ∧ w ∈ v)} = {w ∈ z∣∃v ∈ y (z ∈ v ∧ w ∈ v)})
10	9	unieqd 1929	. . . . . . . . . 10 ⊢ (u = z → ∪{w ∈ u∣∃v ∈ y (u ∈ v ∧ w ∈ v)} = ∪{w ∈ z∣∃v ∈ y (z ∈ v ∧ w ∈ v)})
11		cleqid 1102	. . . . . . . . . 10 ⊢ {⟨u, g⟩∣(u ∈ x ∧ g = ∪{w ∈ u∣∃v ∈ y (u ∈ v ∧ w ∈ v)})} = {⟨u, g⟩∣(u ∈ x ∧ g = ∪{w ∈ u∣∃v ∈ y (u ∈ v ∧ w ∈ v)})}
12		visset 1350	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ z ∈ V
13	12	rabex 1706	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {w ∈ z∣∃v ∈ y (z ∈ v ∧ w ∈ v)} ∈ V
14	13	uniex 1947	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∪{w ∈ z∣∃v ∈ y (z ∈ v ∧ w ∈ v)} ∈ V
15	10, 11, 14	fvopab4 2871	. . . . . . . . 9 ⊢ (z ∈ x → ({⟨u, g⟩∣(u ∈ x ∧ g = ∪{w ∈ u∣∃v ∈ y (u ∈ v ∧ w ∈ v)})} ‘z) = ∪{w ∈ z∣∃v ∈ y (z ∈ v ∧ w ∈ v)})
16	15	eleq1d 1155	. . . . . . . 8 ⊢ (z ∈ x → (({⟨u, g⟩∣(u ∈ x ∧ g = ∪{w ∈ u∣∃v ∈ y (u ∈ v ∧ w ∈ v)})} ‘z) ∈ z ↔ ∪{w ∈ z∣∃v ∈ y (z ∈ v ∧ w ∈ v)} ∈ z))
17		reucl 1957	. . . . . . . 8 ⊢ (∃!w ∈ z ∃v ∈ y (z ∈ v ∧ w ∈ v) → ∪{w ∈ z∣∃v ∈ y (z ∈ v ∧ w ∈ v)} ∈ z)
18	16, 17	syl5bir 184	. . . . . . 7 ⊢ (z ∈ x → (∃!w ∈ z ∃v ∈ y (z ∈ v ∧ w ∈ v) → ({⟨u, g⟩∣(u ∈ x ∧ g = ∪{w ∈ u∣∃v ∈ y (u ∈ v ∧ w ∈ v)})} ‘z) ∈ z))
19	18	syl3d 26	. . . . . 6 ⊢ (z ∈ x → ((¬ z = ∅ → ∃!w ∈ z ∃v ∈ y (z ∈ v ∧ w ∈ v)) → (¬ z = ∅ → ({⟨u, g⟩∣(u ∈ x ∧ g = ∪{w ∈ u∣∃v ∈ y (u ∈ v ∧ w ∈ v)})} ‘z) ∈ z)))
20	19	r19.20i 1253	. . . . 5 ⊢ (∀z ∈ x (¬ z = ∅ → ∃!w ∈ z ∃v ∈ y (z ∈ v ∧ w ∈ v)) → ∀z ∈ x (¬ z = ∅ → ({⟨u, g⟩∣(u ∈ x ∧ g = ∪{w ∈ u∣∃v ∈ y (u ∈ v ∧ w ∈ v)})} ‘z) ∈ z))
21		visset 1350	. . . . . . 7 ⊢ x ∈ V
22		moeq 1431	. . . . . . . 8 ⊢ ∃*g g = ∪{w ∈ u∣∃v ∈ y (u ∈ v ∧ w ∈ v)}
23	22	a1i 7	. . . . . . 7 ⊢ (u ∈ x → ∃*g g = ∪{w ∈ u∣∃v ∈ y (u ∈ v ∧ w ∈ v)})
24	21, 23	funopabex 2742	. . . . . 6 ⊢ {⟨u, g⟩∣(u ∈ x ∧ g = ∪{w ∈ u∣∃v ∈ y (u ∈ v ∧ w ∈ v)})} ∈ V
25		fveq1 2831	. . . . . . . . 9 ⊢ (f = {⟨u, g⟩∣(u ∈ x ∧ g = ∪{w ∈ u∣∃v ∈ y (u ∈ v ∧ w ∈ v)})} → (f ‘z) = ({⟨u, g⟩∣(u ∈ x ∧ g = ∪{w ∈ u∣∃v ∈ y (u ∈ v ∧ w ∈ v)})} ‘z))
26	25	eleq1d 1155	. . . . . . . 8 ⊢ (f = {⟨u, g⟩∣(u ∈ x ∧ g = ∪{w ∈ u∣∃v ∈ y (u ∈ v ∧ w ∈ v)})} → ((f ‘z) ∈ z ↔ ({⟨u, g⟩∣(u ∈ x ∧ g = ∪{w ∈ u∣∃v ∈ y (u ∈ v ∧ w ∈ v)})} ‘z) ∈ z))
27	26	imbi2d 464	. . . . . . 7 ⊢ (f = {⟨u, g⟩∣(u ∈ x ∧ g = ∪{w ∈ u∣∃v ∈ y (u ∈ v ∧ w ∈ v)})} → ((¬ z = ∅ → (f ‘z) ∈ z) ↔ (¬ z = ∅ → ({⟨u, g⟩∣(u ∈ x ∧ g = ∪{w ∈ u∣∃v ∈ y (u ∈ v ∧ w ∈ v)})} ‘z) ∈ z)))
28	27	biraldv 1219	. . . . . 6 ⊢ (f = {⟨u, g⟩∣(u ∈ x ∧ g = ∪{w ∈ u∣∃v ∈ y (u ∈ v ∧ w ∈ v)})} → (∀z ∈ x (¬ z = ∅ → (f ‘z) ∈ z) ↔ ∀z ∈ x (¬ z = ∅ → ({⟨u, g⟩∣(u ∈ x ∧ g = ∪{w ∈ u∣∃v ∈ y (u ∈ v ∧ w ∈ v)})} ‘z) ∈ z)))
29	24, 28	cla4ev 1401	. . . . 5 ⊢ (∀z ∈ x (¬ z = ∅ → ({⟨u, g⟩∣(u ∈ x ∧ g = ∪{w ∈ u∣∃v ∈ y (u ∈ v ∧ w ∈ v)})} ‘z) ∈ z) → ∃f∀z ∈ x (¬ z = ∅ → (f ‘z) ∈ z))
30	20, 29	syl 12	. . . 4 ⊢ (∀z ∈ x (¬ z = ∅ → ∃!w ∈ z ∃v ∈ y (z ∈ v ∧ w ∈ v)) → ∃f∀z ∈ x (¬ z = ∅ → (f ‘z) ∈ z))
31	30	19.23aiv 952	. . 3 ⊢ (∃y∀z ∈ x (¬ z = ∅ → ∃!w ∈ z ∃v ∈ y (z ∈ v ∧ w ∈ v)) → ∃f∀z ∈ x (¬ z = ∅ → (f ‘z) ∈ z))
32	31	19.20i 691	. 2 ⊢ (∀x∃y∀z ∈ x (¬ z = ∅ → ∃!w ∈ z ∃v ∈ y (z ∈ v ∧ w ∈ v)) → ∀x∃f∀z ∈ x (¬ z = ∅ → (f ‘z) ∈ z))
33		aceq3 3556	. 2 ⊢ (∀x∃f(f ⊆ x ∧ f Fn dom x) ↔ ∀x∃f∀z ∈ x (¬ z = ∅ → (f ‘z) ∈ z))
34	32, 33	sylibr 175	1 ⊢ (∀x∃y∀z ∈ x (¬ z = ∅ → ∃!w ∈ z ∃v ∈ y (z ∈ v ∧ w ∈ v)) → ∀x∃f(f ⊆ x ∧ f Fn dom x))

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ∧ wa 196  ∀wal 672  ∃wex 678   = weq 797   ∈ wel 803  ∃*wmo 1008  {cab 1090   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ∀wral 1201  ∃wrex 1202  ∃!wreu 1203  {crab 1204   ⊆ wss 1487  ∅c0 1707  ∪cuni 1919  {copab 2055  dom cdm 2410   Fn wfn 2417   ‘cfv 2422

This theorem is referenced by:  aceq7 3566

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-opab 2098  df-id 2125  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-fv 2438

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