Theorem aceq7 3566

Description: Equivalence of the Axiom of Choice (first form) of [Enderton] p. 49 and our Axiom of Choice (in the form of ac2 3567). The proof does not depend AC on but does depend on the Axiom of Regularity.

Assertion

Ref	Expression
aceq7	⊢ (∀x∃f(f ⊆ x ∧ f Fn dom x) ↔ ∀x∃y∀z ∈ x ∀w ∈ z ∃!v ∈ z ∃u ∈ y (z ∈ u ∧ v ∈ u))

Distinct variable group(s):   x,z,f,y,w,v,u

Proof of Theorem aceq7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aceq6b 3565	. . 3 ⊢ (∀x∃f(f ⊆ x ∧ f Fn dom x) → ∀x∃y∀z ∈ x (¬ z = ∅ → ∃!w ∈ z ∃v ∈ y (z ∈ v ∧ w ∈ v)))
2		aceq6a 3564	. . 3 ⊢ (∀x∃y∀z ∈ x (¬ z = ∅ → ∃!w ∈ z ∃v ∈ y (z ∈ v ∧ w ∈ v)) → ∀x∃f(f ⊆ x ∧ f Fn dom x))
3	1, 2	impbi 139	. 2 ⊢ (∀x∃f(f ⊆ x ∧ f Fn dom x) ↔ ∀x∃y∀z ∈ x (¬ z = ∅ → ∃!w ∈ z ∃v ∈ y (z ∈ v ∧ w ∈ v)))
4		aceq2 3554	. . 3 ⊢ (∃y∀z ∈ x ∀w ∈ z ∃!v ∈ z ∃u ∈ y (z ∈ u ∧ v ∈ u) ↔ ∃y∀z ∈ x (¬ z = ∅ → ∃!w ∈ z ∃v ∈ y (z ∈ v ∧ w ∈ v)))
5	4	bial 695	. 2 ⊢ (∀x∃y∀z ∈ x ∀w ∈ z ∃!v ∈ z ∃u ∈ y (z ∈ u ∧ v ∈ u) ↔ ∀x∃y∀z ∈ x (¬ z = ∅ → ∃!w ∈ z ∃v ∈ y (z ∈ v ∧ w ∈ v)))
6	3, 5	bitr4 154	1 ⊢ (∀x∃f(f ⊆ x ∧ f Fn dom x) ↔ ∀x∃y∀z ∈ x ∀w ∈ z ∃!v ∈ z ∃u ∈ y (z ∈ u ∧ v ∈ u))

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196  ∀wal 672  ∃wex 678   ∈ wel 803   = wceq 1091  ∀wral 1201  ∃wrex 1202  ∃!wreu 1203   ⊆ wss 1487  ∅c0 1707  dom cdm 2410   Fn wfn 2417

This theorem is referenced by:  ac7 3569

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-fr 2169  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-fv 2438

metamath.org