Theorem aceqkm 3596

Description: Equivalence of the Axiom of Choice (first form) of [Enderton] p. 49 and Maes' AC ackm 3597. The proof consists of lemmas kmlem1 3580 through kmlem16 3595 and this final theorem. AC is not used for the proof. Note: bypassing the first step (i.e. replacing aceq5 3563 with pm4.2 148) establishes the AC equivalence shown by Mae's writeup. The left-hand-side AC shown here was chosen because it is shorter to display.

Assertion

Ref	Expression
aceqkm	⊢ (∀x∃f(f ⊆ x ∧ f Fn dom x) ↔ ∀x∃y∀z∃v∀u((y ∈ x ∧ (z ∈ y → ((v ∈ x ∧ ¬ y = v) ∧ z ∈ v))) ∨ (¬ y ∈ x ∧ (z ∈ x → ((v ∈ z ∧ v ∈ y) ∧ ((u ∈ z ∧ u ∈ y) → u = v))))))

Distinct variable group(s):   x,y,z,v,u,f

Proof of Theorem aceqkm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aceq5 3563	. 2 ⊢ (∀x∃f(f ⊆ x ∧ f Fn dom x) ↔ ∀x((∀z ∈ x ¬ z = ∅ ∧ ∀z ∈ x ∀w ∈ x (¬ z = w → (z ∩ w) = ∅)) → ∃y∀z ∈ x ∃!v v ∈ (z ∩ y)))
2		cleqid 1102	. . . 4 ⊢ {t∣∃h ∈ x t = (h ∖ ∪(x ∖ {h}))} = {t∣∃h ∈ x t = (h ∖ ∪(x ∖ {h}))}
3	2	kmlem12 3591	. . 3 ⊢ (∀x((∀z ∈ x ¬ z = ∅ ∧ ∀z ∈ x ∀w ∈ x (¬ z = w → (z ∩ w) = ∅)) → ∃y∀z ∈ x ∃!v v ∈ (z ∩ y)) ↔ ∀x(¬ ∃z ∈ x ∀v ∈ z ∃w ∈ x (¬ z = w ∧ v ∈ (z ∩ w)) → ∃y∀z ∈ x (¬ z = ∅ → ∃!v v ∈ (z ∩ y))))
4		kmlem13 3592	. . . 4 ⊢ ((¬ ∃z ∈ x ∀v ∈ z ∃w ∈ x (¬ z = w ∧ v ∈ (z ∩ w)) → ∃y∀z ∈ x (¬ z = ∅ → ∃!v v ∈ (z ∩ y))) ↔ (∃z ∈ x ∀v ∈ z ∃w ∈ x (¬ z = w ∧ v ∈ (z ∩ w)) ∨ ∃y(¬ y ∈ x ∧ ∀z ∈ x ∃!v v ∈ (z ∩ y))))
5	4	bial 695	. . 3 ⊢ (∀x(¬ ∃z ∈ x ∀v ∈ z ∃w ∈ x (¬ z = w ∧ v ∈ (z ∩ w)) → ∃y∀z ∈ x (¬ z = ∅ → ∃!v v ∈ (z ∩ y))) ↔ ∀x(∃z ∈ x ∀v ∈ z ∃w ∈ x (¬ z = w ∧ v ∈ (z ∩ w)) ∨ ∃y(¬ y ∈ x ∧ ∀z ∈ x ∃!v v ∈ (z ∩ y))))
6	3, 5	bitr 151	. 2 ⊢ (∀x((∀z ∈ x ¬ z = ∅ ∧ ∀z ∈ x ∀w ∈ x (¬ z = w → (z ∩ w) = ∅)) → ∃y∀z ∈ x ∃!v v ∈ (z ∩ y)) ↔ ∀x(∃z ∈ x ∀v ∈ z ∃w ∈ x (¬ z = w ∧ v ∈ (z ∩ w)) ∨ ∃y(¬ y ∈ x ∧ ∀z ∈ x ∃!v v ∈ (z ∩ y))))
7		pm4.2 148	. . . 4 ⊢ ((z ∈ y → ((v ∈ x ∧ ¬ y = v) ∧ z ∈ v)) ↔ (z ∈ y → ((v ∈ x ∧ ¬ y = v) ∧ z ∈ v)))
8		pm4.2 148	. . . 4 ⊢ ((z ∈ x → ((v ∈ z ∧ v ∈ y) ∧ ((u ∈ z ∧ u ∈ y) → u = v))) ↔ (z ∈ x → ((v ∈ z ∧ v ∈ y) ∧ ((u ∈ z ∧ u ∈ y) → u = v))))
9		pm4.2 148	. . . 4 ⊢ (∀z ∈ x ∃!v v ∈ (z ∩ y) ↔ ∀z ∈ x ∃!v v ∈ (z ∩ y))
10	7, 8, 9	kmlem16 3595	. . 3 ⊢ ((∃z ∈ x ∀v ∈ z ∃w ∈ x (¬ z = w ∧ v ∈ (z ∩ w)) ∨ ∃y(¬ y ∈ x ∧ ∀z ∈ x ∃!v v ∈ (z ∩ y))) ↔ ∃y∀z∃v∀u((y ∈ x ∧ (z ∈ y → ((v ∈ x ∧ ¬ y = v) ∧ z ∈ v))) ∨ (¬ y ∈ x ∧ (z ∈ x → ((v ∈ z ∧ v ∈ y) ∧ ((u ∈ z ∧ u ∈ y) → u = v))))))
11	10	bial 695	. 2 ⊢ (∀x(∃z ∈ x ∀v ∈ z ∃w ∈ x (¬ z = w ∧ v ∈ (z ∩ w)) ∨ ∃y(¬ y ∈ x ∧ ∀z ∈ x ∃!v v ∈ (z ∩ y))) ↔ ∀x∃y∀z∃v∀u((y ∈ x ∧ (z ∈ y → ((v ∈ x ∧ ¬ y = v) ∧ z ∈ v))) ∨ (¬ y ∈ x ∧ (z ∈ x → ((v ∈ z ∧ v ∈ y) ∧ ((u ∈ z ∧ u ∈ y) → u = v))))))
12	1, 6, 11	3bitr 155	1 ⊢ (∀x∃f(f ⊆ x ∧ f Fn dom x) ↔ ∀x∃y∀z∃v∀u((y ∈ x ∧ (z ∈ y → ((v ∈ x ∧ ¬ y = v) ∧ z ∈ v))) ∨ (¬ y ∈ x ∧ (z ∈ x → ((v ∈ z ∧ v ∈ y) ∧ ((u ∈ z ∧ u ∈ y) → u = v))))))

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ↔ wb 127   ∨ wo 195   ∧ wa 196  ∀wal 672  ∃wex 678   = weq 797   ∈ wel 803  ∃!weu 1007  {cab 1090   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ∀wral 1201  ∃wrex 1202   ∖ cdif 1484   ∩ cin 1486   ⊆ wss 1487  ∅c0 1707  {csn 1808  ∪cuni 1919  dom cdm 2410   Fn wfn 2417

This theorem is referenced by:  ackm 3597

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-rab 1208  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-iun 1996  df-br 2063  df-opab 2098  df-id 2125  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-fv 2438

metamath.org