Theorem addasspq 3857

Description: Addition of positive fractions is associative.

Hypotheses

Ref	Expression
addasspq.1	⊢ B ∈ V
addasspq.2	⊢ C ∈ V

Assertion

Ref	Expression
addasspq	⊢ ((A +Q B) +Q C) = (A +Q (B +Q C))

Proof of Theorem addasspq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nq 3832	. . 3 ⊢ Q = ((N × N) / ~Q )
2		addpipq 3848	. . 3 ⊢ (((x ∈ N ∧ y ∈ N) ∧ (z ∈ N ∧ w ∈ N)) → ([⟨x, y⟩] ~Q +Q [⟨z, w⟩] ~Q ) = [⟨((x ·N w) +N (y ·N z)), (y ·N w)⟩] ~Q )
3		addpipq 3848	. . 3 ⊢ (((z ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (v ∈ N ∧ u ∈ N)) → ([⟨z, w⟩] ~Q +Q [⟨v, u⟩] ~Q ) = [⟨((z ·N u) +N (w ·N v)), (w ·N u)⟩] ~Q )
4		addpipq 3848	. . 3 ⊢ (((((x ·N w) +N (y ·N z)) ∈ N ∧ (y ·N w) ∈ N) ∧ (v ∈ N ∧ u ∈ N)) → ([⟨((x ·N w) +N (y ·N z)), (y ·N w)⟩] ~Q +Q [⟨v, u⟩] ~Q ) = [⟨((((x ·N w) +N (y ·N z)) ·N u) +N ((y ·N w) ·N v)), ((y ·N w) ·N u)⟩] ~Q )
5		addpipq 3848	. . 3 ⊢ (((x ∈ N ∧ y ∈ N) ∧ (((z ·N u) +N (w ·N v)) ∈ N ∧ (w ·N u) ∈ N)) → ([⟨x, y⟩] ~Q +Q [⟨((z ·N u) +N (w ·N v)), (w ·N u)⟩] ~Q ) = [⟨((x ·N (w ·N u)) +N (y ·N ((z ·N u) +N (w ·N v)))), (y ·N (w ·N u))⟩] ~Q )
6		addclpi 3814	. . . . . 6 ⊢ (((x ·N w) ∈ N ∧ (y ·N z) ∈ N) → ((x ·N w) +N (y ·N z)) ∈ N)
7		mulclpi 3815	. . . . . 6 ⊢ ((x ∈ N ∧ w ∈ N) → (x ·N w) ∈ N)
8		mulclpi 3815	. . . . . 6 ⊢ ((y ∈ N ∧ z ∈ N) → (y ·N z) ∈ N)
9	6, 7, 8	syl2an 349	. . . . 5 ⊢ (((x ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (y ∈ N ∧ z ∈ N)) → ((x ·N w) +N (y ·N z)) ∈ N)
10	9	an42s 391	. . . 4 ⊢ (((x ∈ N ∧ y ∈ N) ∧ (z ∈ N ∧ w ∈ N)) → ((x ·N w) +N (y ·N z)) ∈ N)
11		mulclpi 3815	. . . . . 6 ⊢ ((y ∈ N ∧ w ∈ N) → (y ·N w) ∈ N)
12	11	adantl 305	. . . . 5 ⊢ (((x ∈ N ∧ z ∈ N) ∧ (y ∈ N ∧ w ∈ N)) → (y ·N w) ∈ N)
13	12	an4s 390	. . . 4 ⊢ (((x ∈ N ∧ y ∈ N) ∧ (z ∈ N ∧ w ∈ N)) → (y ·N w) ∈ N)
14	10, 13	jca 236	. . 3 ⊢ (((x ∈ N ∧ y ∈ N) ∧ (z ∈ N ∧ w ∈ N)) → (((x ·N w) +N (y ·N z)) ∈ N ∧ (y ·N w) ∈ N))
15		addclpi 3814	. . . . . 6 ⊢ (((z ·N u) ∈ N ∧ (w ·N v) ∈ N) → ((z ·N u) +N (w ·N v)) ∈ N)
16		mulclpi 3815	. . . . . 6 ⊢ ((z ∈ N ∧ u ∈ N) → (z ·N u) ∈ N)
17		mulclpi 3815	. . . . . 6 ⊢ ((w ∈ N ∧ v ∈ N) → (w ·N v) ∈ N)
18	15, 16, 17	syl2an 349	. . . . 5 ⊢ (((z ∈ N ∧ u ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ N)) → ((z ·N u) +N (w ·N v)) ∈ N)
19	18	an42s 391	. . . 4 ⊢ (((z ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (v ∈ N ∧ u ∈ N)) → ((z ·N u) +N (w ·N v)) ∈ N)
20		mulclpi 3815	. . . . . 6 ⊢ ((w ∈ N ∧ u ∈ N) → (w ·N u) ∈ N)
21	20	adantl 305	. . . . 5 ⊢ (((z ∈ N ∧ v ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ u ∈ N)) → (w ·N u) ∈ N)
22	21	an4s 390	. . . 4 ⊢ (((z ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (v ∈ N ∧ u ∈ N)) → (w ·N u) ∈ N)
23	19, 22	jca 236	. . 3 ⊢ (((z ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (v ∈ N ∧ u ∈ N)) → (((z ·N u) +N (w ·N v)) ∈ N ∧ (w ·N u) ∈ N))
24		oprex 3018	. . . . 5 ⊢ (y ·N (z ·N u)) ∈ V
25		oprex 3018	. . . . 5 ⊢ (y ·N (w ·N v)) ∈ V
26	24, 25	addasspi 3817	. . . 4 ⊢ (((x ·N (w ·N u)) +N (y ·N (z ·N u))) +N (y ·N (w ·N v))) = ((x ·N (w ·N u)) +N ((y ·N (z ·N u)) +N (y ·N (w ·N v))))
27		visset 1350	. . . . . 6 ⊢ x ∈ V
28		visset 1350	. . . . . 6 ⊢ y ∈ V
29		visset 1350	. . . . . 6 ⊢ w ∈ V
30		visset 1350	. . . . . . 7 ⊢ f ∈ V
31		visset 1350	. . . . . . 7 ⊢ g ∈ V
32	30, 31	mulcompi 3818	. . . . . 6 ⊢ (f ·N g) = (g ·N f)
33		visset 1350	. . . . . . 7 ⊢ h ∈ V
34	31, 33	distrpi 3820	. . . . . 6 ⊢ (f ·N (g +N h)) = ((f ·N g) +N (f ·N h))
35		visset 1350	. . . . . 6 ⊢ z ∈ V
36		visset 1350	. . . . . 6 ⊢ u ∈ V
37	31, 33	mulasspi 3819	. . . . . 6 ⊢ ((f ·N g) ·N h) = (f ·N (g ·N h))
38	27, 28, 29, 32, 34, 35, 36, 37	caoprdilem 3082	. . . . 5 ⊢ (((x ·N w) +N (y ·N z)) ·N u) = ((x ·N (w ·N u)) +N (y ·N (z ·N u)))
39		visset 1350	. . . . . 6 ⊢ v ∈ V
40	29, 39	mulasspi 3819	. . . . 5 ⊢ ((y ·N w) ·N v) = (y ·N (w ·N v))
41	38, 40	opreq12i 3011	. . . 4 ⊢ ((((x ·N w) +N (y ·N z)) ·N u) +N ((y ·N w) ·N v)) = (((x ·N (w ·N u)) +N (y ·N (z ·N u))) +N (y ·N (w ·N v)))
42		oprex 3018	. . . . . 6 ⊢ (z ·N u) ∈ V
43		oprex 3018	. . . . . 6 ⊢ (w ·N v) ∈ V
44	42, 43	distrpi 3820	. . . . 5 ⊢ (y ·N ((z ·N u) +N (w ·N v))) = ((y ·N (z ·N u)) +N (y ·N (w ·N v)))
45	44	opreq2i 3010	. . . 4 ⊢ ((x ·N (w ·N u)) +N (y ·N ((z ·N u) +N (w ·N v)))) = ((x ·N (w ·N u)) +N ((y ·N (z ·N u)) +N (y ·N (w ·N v))))
46	26, 41, 45	3eqtr4 1126	. . 3 ⊢ ((((x ·N w) +N (y ·N z)) ·N u) +N ((y ·N w) ·N v)) = ((x ·N (w ·N u)) +N (y ·N ((z ·N u) +N (w ·N v))))
47	29, 36	mulasspi 3819	. . 3 ⊢ ((y ·N w) ·N u) = (y ·N (w ·N u))
48	1, 2, 3, 4, 5, 14, 23, 46, 47	ecoprass 3256	. 2 ⊢ ((A ∈ Q ∧ B ∈ Q ∧ C ∈ Q) → ((A +Q B) +Q C) = (A +Q (B +Q C)))
49		addasspq.1	. . 3 ⊢ B ∈ V
50		dmaddpq 3853	. . 3 ⊢ dom +Q = (Q × Q)
51		addasspq.2	. . 3 ⊢ C ∈ V
52		0npq 3844	. . 3 ⊢ ¬ ∅ ∈ Q
53	49, 50, 51, 52	ndmoprass 3062	. 2 ⊢ (¬ (A ∈ Q ∧ B ∈ Q ∧ C ∈ Q) → ((A +Q B) +Q C) = (A +Q (B +Q C)))
54	48, 53	pm2.61i 110	1 ⊢ ((A +Q B) +Q C) = (A +Q (B +Q C))

Syntax hints:   ∧ wa 196   ∧ w3a 581   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  Vcvv 1348  (class class class)co 3001  Ncnpi 3766   +_N cpli 3767   ·_N cmi 3768   ~_Q ceq 3772  Qcnq 3773   +_Q cplq 3775

This theorem is referenced by:  ltaddpq 3873  ltbtwnpq 3878  addasspr 3918  prlem934a 3931  ltexprlem7 3942

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-plpq 3829  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833

metamath.org