Theorem addclpq 3852

Description: Closure of addition on positive fractions.

Assertion

Ref	Expression
addclpq	⊢ ((A ∈ Q ∧ B ∈ Q) → (A +Q B) ∈ Q)

Proof of Theorem addclpq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nq 3832	. . 3 ⊢ Q = ((N × N) / ~Q )
2		opreq1 3006	. . . 4 ⊢ ([⟨x, y⟩] ~Q = A → ([⟨x, y⟩] ~Q +Q [⟨z, w⟩] ~Q ) = (A +Q [⟨z, w⟩] ~Q ))
3	2	eleq1d 1155	. . 3 ⊢ ([⟨x, y⟩] ~Q = A → (([⟨x, y⟩] ~Q +Q [⟨z, w⟩] ~Q ) ∈ ((N × N) / ~Q ) ↔ (A +Q [⟨z, w⟩] ~Q ) ∈ ((N × N) / ~Q )))
4		opreq2 3007	. . . 4 ⊢ ([⟨z, w⟩] ~Q = B → (A +Q [⟨z, w⟩] ~Q ) = (A +Q B))
5	4	eleq1d 1155	. . 3 ⊢ ([⟨z, w⟩] ~Q = B → ((A +Q [⟨z, w⟩] ~Q ) ∈ ((N × N) / ~Q ) ↔ (A +Q B) ∈ ((N × N) / ~Q )))
6		addpipq 3848	. . . 4 ⊢ (((x ∈ N ∧ y ∈ N) ∧ (z ∈ N ∧ w ∈ N)) → ([⟨x, y⟩] ~Q +Q [⟨z, w⟩] ~Q ) = [⟨((x ·N w) +N (y ·N z)), (y ·N w)⟩] ~Q )
7		addclpi 3814	. . . . . . . 8 ⊢ (((x ·N w) ∈ N ∧ (y ·N z) ∈ N) → ((x ·N w) +N (y ·N z)) ∈ N)
8		mulclpi 3815	. . . . . . . 8 ⊢ ((x ∈ N ∧ w ∈ N) → (x ·N w) ∈ N)
9		mulclpi 3815	. . . . . . . 8 ⊢ ((y ∈ N ∧ z ∈ N) → (y ·N z) ∈ N)
10	7, 8, 9	syl2an 349	. . . . . . 7 ⊢ (((x ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (y ∈ N ∧ z ∈ N)) → ((x ·N w) +N (y ·N z)) ∈ N)
11	10	an42s 391	. . . . . 6 ⊢ (((x ∈ N ∧ y ∈ N) ∧ (z ∈ N ∧ w ∈ N)) → ((x ·N w) +N (y ·N z)) ∈ N)
12		mulclpi 3815	. . . . . . . 8 ⊢ ((y ∈ N ∧ w ∈ N) → (y ·N w) ∈ N)
13	12	adantl 305	. . . . . . 7 ⊢ (((x ∈ N ∧ z ∈ N) ∧ (y ∈ N ∧ w ∈ N)) → (y ·N w) ∈ N)
14	13	an4s 390	. . . . . 6 ⊢ (((x ∈ N ∧ y ∈ N) ∧ (z ∈ N ∧ w ∈ N)) → (y ·N w) ∈ N)
15	11, 14	jca 236	. . . . 5 ⊢ (((x ∈ N ∧ y ∈ N) ∧ (z ∈ N ∧ w ∈ N)) → (((x ·N w) +N (y ·N z)) ∈ N ∧ (y ·N w) ∈ N))
16		opelxpi 2455	. . . . 5 ⊢ ((((x ·N w) +N (y ·N z)) ∈ N ∧ (y ·N w) ∈ N) → ⟨((x ·N w) +N (y ·N z)), (y ·N w)⟩ ∈ (N × N))
17		enqex 3842	. . . . . 6 ⊢ ~Q ∈ V
18	17	ecelqsi 3229	. . . . 5 ⊢ (⟨((x ·N w) +N (y ·N z)), (y ·N w)⟩ ∈ (N × N) → [⟨((x ·N w) +N (y ·N z)), (y ·N w)⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
19	15, 16, 18	3syl 21	. . . 4 ⊢ (((x ∈ N ∧ y ∈ N) ∧ (z ∈ N ∧ w ∈ N)) → [⟨((x ·N w) +N (y ·N z)), (y ·N w)⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
20	6, 19	eqeltrd 1163	. . 3 ⊢ (((x ∈ N ∧ y ∈ N) ∧ (z ∈ N ∧ w ∈ N)) → ([⟨x, y⟩] ~Q +Q [⟨z, w⟩] ~Q ) ∈ ((N × N) / ~Q ))
21	1, 3, 5, 20	2ecoptocl 3240	. 2 ⊢ ((A ∈ Q ∧ B ∈ Q) → (A +Q B) ∈ ((N × N) / ~Q ))
22	1	eleq2i 1153	. 2 ⊢ ((A +Q B) ∈ Q ↔ (A +Q B) ∈ ((N × N) / ~Q ))
23	21, 22	sylibr 175	1 ⊢ ((A ∈ Q ∧ B ∈ Q) → (A +Q B) ∈ Q)

Syntax hints:   → wi 2   ∧ wa 196   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ⟨cop 1810   × cxp 2408  (class class class)co 3001  [cec 3198   / cqs 3199  Ncnpi 3766   +_N cpli 3767   ·_N cmi 3768   ~_Q ceq 3772  Qcnq 3773   +_Q cplq 3775

This theorem is referenced by:  dmaddpq 3853  ltbtwnpq 3878  addclprlem2 3913  addclpr 3914  prlem936 3949

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-plpq 3829  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833

metamath.org