Theorem addclprlem1 3912

Description: Lemma to prove downward closure in positive real addition. Part of proof of Proposition 9-3.5 of [Gleason] p. 123.

Assertion

Ref	Expression
addclprlem1	⊢ (((A ∈ P ∧ g ∈ A) ∧ x ∈ Q) → (x <Q (g +Q h) → ((x ·Q (*Q ‘(g +Q h))) ·Q g) ∈ A))

Proof of Theorem addclprlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 2838	. . . . . . 7 ⊢ (*Q ‘(g +Q h)) ∈ V
2		fvex 2838	. . . . . . 7 ⊢ (*Q ‘x) ∈ V
3	1, 2	ltmpq 3871	. . . . . 6 ⊢ (x ∈ Q → ((*Q ‘(g +Q h)) <Q (*Q ‘x) ↔ (x ·Q (*Q ‘(g +Q h))) <Q (x ·Q (*Q ‘x))))
4		oprex 3018	. . . . . . 7 ⊢ (x ·Q (*Q ‘(g +Q h))) ∈ V
5		oprex 3018	. . . . . . 7 ⊢ (x ·Q (*Q ‘x)) ∈ V
6		visset 1350	. . . . . . . 8 ⊢ y ∈ V
7		visset 1350	. . . . . . . 8 ⊢ z ∈ V
8	6, 7	ltmpq 3871	. . . . . . 7 ⊢ (w ∈ Q → (y <Q z ↔ (w ·Q y) <Q (w ·Q z)))
9		visset 1350	. . . . . . 7 ⊢ g ∈ V
10	6, 7	mulcompq 3858	. . . . . . 7 ⊢ (y ·Q z) = (z ·Q y)
11	4, 5, 8, 9, 10	caoprord2 3071	. . . . . 6 ⊢ (g ∈ Q → ((x ·Q (*Q ‘(g +Q h))) <Q (x ·Q (*Q ‘x)) ↔ ((x ·Q (*Q ‘(g +Q h))) ·Q g) <Q ((x ·Q (*Q ‘x)) ·Q g)))
12	3, 11	sylan9bbr 419	. . . . 5 ⊢ ((g ∈ Q ∧ x ∈ Q) → ((*Q ‘(g +Q h)) <Q (*Q ‘x) ↔ ((x ·Q (*Q ‘(g +Q h))) ·Q g) <Q ((x ·Q (*Q ‘x)) ·Q g)))
13		visset 1350	. . . . . 6 ⊢ x ∈ V
14		oprex 3018	. . . . . 6 ⊢ (g +Q h) ∈ V
15	13, 14	ltrpq 3879	. . . . 5 ⊢ (x <Q (g +Q h) → (*Q ‘(g +Q h)) <Q (*Q ‘x))
16	12, 15	syl5bi 183	. . . 4 ⊢ ((g ∈ Q ∧ x ∈ Q) → (x <Q (g +Q h) → ((x ·Q (*Q ‘(g +Q h))) ·Q g) <Q ((x ·Q (*Q ‘x)) ·Q g)))
17		recidpq 3865	. . . . . . 7 ⊢ (x ∈ Q → (x ·Q (*Q ‘x)) = 1Q)
18	17	opreq1d 3012	. . . . . 6 ⊢ (x ∈ Q → ((x ·Q (*Q ‘x)) ·Q g) = (1Q ·Q g))
19		mulidpq 3863	. . . . . . 7 ⊢ (g ∈ Q → (g ·Q 1Q) = g)
20		1q 3851	. . . . . . . . 9 ⊢ 1Q ∈ Q
21	20	elisseti 1355	. . . . . . . 8 ⊢ 1Q ∈ V
22	21, 9	mulcompq 3858	. . . . . . 7 ⊢ (1Q ·Q g) = (g ·Q 1Q)
23	19, 22	syl5eq 1136	. . . . . 6 ⊢ (g ∈ Q → (1Q ·Q g) = g)
24	18, 23	sylan9eqr 1145	. . . . 5 ⊢ ((g >isin; Q ∧ x ∈ Q) → ((x ·Q (*Q ‘x)) ·Q g) = g)
25	24	breq2d 2072	. . . 4 ⊢ ((g ∈ Q ∧ x ∈ Q) → (((x ·Q (*Q ‘(g +Q h))) ·Q g) <Q ((x ·Q (*Q ‘x)) ·Q g) ↔ ((x ·Q (*Q ‘(g +Q h))) ·Q g) <Q g))
26	16, 25	sylibd 177	. . 3 ⊢ ((g ∈ Q ∧ x ∈ Q) → (x <Q (g +Q h) → ((x ·Q (*Q ‘(g +Q h))) ·Q g) <Q g))
27		elprpq 3889	. . 3 ⊢ ((A ∈ P ∧ g ∈ A) → g ∈ Q)
28	26, 27	sylan 343	. 2 ⊢ (((A ∈ P ∧ g ∈ A) ∧ x ∈ Q) → (x <Q (g +Q h) → ((x ·Q (*Q ‘(g +Q h))) ·Q g) <Q g))
29		prcdpq 3891	. . 3 ⊢ ((A ∈ P ∧ g ∈ A) → (((x ·Q (*Q ‘(g +Q h))) ·Q g) <Q g → ((x ·Q (*Q ‘(g +Q h))) ·Q g) ∈ A))
30	29	adantr 306	. 2 ⊢ (((A ∈ P ∧ g ∈ A) ∧ x ∈ Q) → (((x ·Q (*Q ‘(g +Q h))) ·Q g) <Q g → ((x ·Q (*Q ‘(g +Q h))) ·Q g) ∈ A))
31	28, 30	syld 27	1 ⊢ (((A ∈ P ∧ g ∈ A) ∧ x ∈ Q) → (x <Q (g +Q h) → ((x ·Q (*Q ‘(g +Q h))) ·Q g) ∈ A))

Syntax hints:   → wi 2   ∧ wa 196   ∈ wcel 1092   class class class wbr 2054   ‘cfv 2422  (class class class)co 3001  Qcnq 3773  1_Qc1q 3774   +_Q cplq 3775   ·_Q cmq 3776  *_Qcrq 3777   <_Q cltq 3778  Pcnp 3779

This theorem is referenced by:  addclprlem2 3913

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-mi 3796  df-lti 3797  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880

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