Theorem addclprlem2 3913

Description: Lemma to prove downward closure in positive real addition. Part of proof of Proposition 9-3.5 of [Gleason] p. 123.

Assertion

Ref	Expression
addclprlem2	⊢ ((((A ∈ P ∧ g ∈ A) ∧ (B ∈ P ∧ h ∈ B)) ∧ x ∈ Q) → (x <Q (g +Q h) → x ∈ (A +P B)))

Distinct variable group(s):   x,g,h   x,A   x,B

Proof of Theorem addclprlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addclprlem1 3912	. . . . 5 ⊢ (((A ∈ P ∧ g ∈ A) ∧ x ∈ Q) → (x <Q (g +Q h) → ((x ·Q (*Q ‘(g +Q h))) ·Q g) ∈ A))
2	1	adantlr 310	. . . 4 ⊢ ((((A ∈ P ∧ g ∈ A) ∧ (B ∈ P ∧ h ∈ B)) ∧ x ∈ Q) → (x <Q (g +Q h) → ((x ·Q (*Q ‘(g +Q h))) ·Q g) ∈ A))
3		addclprlem1 3912	. . . . . 6 ⊢ (((B ∈ P ∧ h ∈ B) ∧ x ∈ Q) → (x <Q (h +Q g) → ((x ·Q (*Q ‘(h +Q g))) ·Q h) ∈ B))
4		visset 1350	. . . . . . . 8 ⊢ g ∈ V
5		visset 1350	. . . . . . . 8 ⊢ h ∈ V
6	4, 5	addcompq 3856	. . . . . . 7 ⊢ (g +Q h) = (h +Q g)
7	6	breq2i 2069	. . . . . 6 ⊢ (x <Q (g +Q h) ↔ x <Q (h +Q g))
8	6	fveq2i 2835	. . . . . . . . 9 ⊢ (*Q ‘(g +Q h)) = (*Q ‘(h +Q g))
9	8	opreq2i 3010	. . . . . . . 8 ⊢ (x ·Q (*Q ‘(g +Q h))) = (x ·Q (*Q ‘(h +Q g)))
10	9	opreq1i 3009	. . . . . . 7 ⊢ ((x ·Q (*Q ‘(g +Q h))) ·Q h) = ((x ·Q (*Q ‘(h +Q g))) ·Q h)
11	10	eleq1i 1152	. . . . . 6 ⊢ (((x ·Q (*Q ‘(g +Q h))) ·Q h) ∈ B ↔ ((x ·Q (*Q ‘(h +Q g))) ·Q h) ∈ B)
12	3, 7, 11	3imtr4g 426	. . . . 5 ⊢ (((B ∈ P ∧ h ∈ B) ∧ x ∈ Q) → (x <Q (g +Q h) → ((x ·Q (*Q ‘(g +Q h))) ·Q h) ∈ B))
13	12	adantll 309	. . . 4 ⊢ ((((A ∈ P ∧ g ∈ A) ∧ (B ∈ P ∧ h ∈ B)) ∧ x ∈ Q) → (x <Q (g +Q h) → ((x ·Q (*Q ‘(g +Q h))) ·Q h) ∈ B))
14	2, 13	jcad 455	. . 3 ⊢ ((((A ∈ P ∧ g ∈ A) ∧ (B ∈ P ∧ h ∈ B)) ∧ x ∈ Q) → (x <Q (g +Q h) → (((x ·Q (*Q ‘(g +Q h))) ·Q g) ∈ A ∧ ((x ·Q (*Q ‘(g +Q h))) ·Q h) ∈ B)))
15		pm3.26 256	. . . 4 ⊢ ((((A ∈ P ∧ g ∈ A) ∧ (B ∈ P ∧ h ∈ B)) ∧ x ∈ Q) → ((A ∈ P ∧ g ∈ A) ∧ (B ∈ P ∧ h ∈ B)))
16		pm3.26 256	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ P ∧ g ∈ A) → A ∈ P)
17		pm3.26 256	. . . . 5 ⊢ ((B ∈ P ∧ h ∈ B) → B ∈ P)
18	16, 17	anim12i 268	. . . 4 ⊢ (((A ∈ P ∧ g ∈ A) ∧ (B ∈ P ∧ h ∈ B)) → (A ∈ P ∧ B ∈ P))
19		df-plp 3882	. . . . 5 ⊢ +P = {⟨⟨w, v⟩, u⟩∣((w ∈ P ∧ v ∈ P) ∧ u = {x∣∃y ∈ w ∃z ∈ v x = (y +Q z)})}
20	19	genpprecl 3898	. . . 4 ⊢ ((A ∈ P ∧ B ∈ P) → ((((x ·Q (*Q ‘(g +Q h))) ·Q g) ∈ A ∧ ((x ·Q (*Q ‘(g +Q h))) ·Q h) ∈ B) → (((x ·Q (*Q ‘(g +Q h))) ·Q g) +Q ((x ·Q (*Q ‘(g +Q h))) ·Q h)) ∈ (A +P B)))
21	15, 18, 20	3syl 21	. . 3 ⊢ ((((A ∈ P ∧ g ∈ A) ∧ (B ∈ P ∧ h ∈ B)) ∧ x ∈ Q) → ((((x ·Q (*Q ‘(g +Q h))) ·Q g) ∈ A ∧ ((x ·Q (*Q ‘(g +Q h))) ·Q h) ∈ B) → (((x ·Q (*Q ‘(g +Q h))) ·Q g) +Q ((x ·Q (*Q ‘(g +Q h))) ·Q h)) ∈ (A +P B)))
22	14, 21	syld 27	. 2 ⊢ ((((A ∈ P ∧ g ∈ A) ∧ (B ∈ P ∧ h ∈ B)) ∧ x ∈ Q) → (x <Q (g +Q h) → (((x ·Q (*Q ‘(g +Q h))) ·Q g) +Q ((x ·Q (*Q ‘(g +Q h))) ·Q h)) ∈ (A +P B)))
23		elprpq 3889	. . . . . . . . 9 ⊢ ((A ∈ P ∧ g ∈ A) → g ∈ Q)
24		elprpq 3889	. . . . . . . . 9 ⊢ ((B ∈ P ∧ h ∈ B) → h ∈ Q)
25	23, 24	anim12i 268	. . . . . . . 8 ⊢ (((A ∈ P ∧ g ∈ A) ∧ (B ∈ P ∧ h ∈ B)) → (g ∈ Q ∧ h ∈ Q))
26		addclpq 3852	. . . . . . . 8 ⊢ ((g ∈ Q ∧ h ∈ Q) → (g +Q h) ∈ Q)
27		recidpq 3865	. . . . . . . 8 ⊢ ((g +Q h) ∈ Q → ((g +Q h) ·Q (*Q ‘(g +Q h))) = 1Q)
28	25, 26, 27	3syl 21	. . . . . . 7 ⊢ (((A ∈ P ∧ g ∈ A) ∧ (B ∈ P ∧ h ∈ B)) → ((g +Q h) ·Q (*Q ‘(g +Q h))) = 1Q)
29		fvex 2838	. . . . . . . 8 ⊢ (*Q ‘(g +Q h)) ∈ V
30		oprex 3018	. . . . . . . 8 ⊢ (g +Q h) ∈ V
31	29, 30	mulcompq 3858	. . . . . . 7 ⊢ ((*Q ‘(g +Q h)) ·Q (g +Q h)) = ((g +Q h) ·Q (*Q ‘(g +Q h)))
32	28, 31	syl5eq 1136	. . . . . 6 ⊢ (((A ∈ P ∧ g ∈ A) ∧ (B ∈ P ∧ h ∈ B)) → ((*Q ‘(g +Q h)) ·Q (g +Q h)) = 1Q)
33	32	opreq2d 3013	. . . . 5 ⊢ (((A ∈ P ∧ g ∈ A) ∧ (B ∈ P ∧ h ∈ B)) → (x ·Q ((*Q ‘(g +Q h)) ·Q (g +Q h))) = (x ·Q 1Q))
34		mulidpq 3863	. . . . 5 ⊢ (x ∈ Q → (x ·Q 1Q) = x)
35	33, 34	sylan9eq 1144	. . . 4 ⊢ ((((A ∈ P ∧ g ∈ A) ∧ (B ∈ P ∧ h ∈ B)) ∧ x ∈ Q) → (x ·Q ((*Q ‘(g +Q h)) ·Q (g +Q h))) = x)
36	4, 5	distrpq 3861	. . . . 5 ⊢ ((x ·Q (*Q ‘(g +Q h))) ·Q (g +Q h)) = (((x ·Q (*Q ‘(g +Q h))) ·Q g) +Q ((x ·Q (*Q ‘(g +Q h))) ·Q h))
37	29, 30	mulasspq 3859	. . . . 5 ⊢ ((x ·Q (*Q ‘(g +Q h))) ·Q (g +Q h)) = (x ·Q ((*Q ‘(g +Q h)) ·Q (g +Q h)))
38	36, 37	eqtr3 1121	. . . 4 ⊢ (((x ·Q (*Q ‘(g +Q h))) ·Q g) +Q ((x ·Q (*Q ‘(g +Q h))) ·Q h)) = (x ·Q ((*Q ‘(g +Q h)) ·Q (g +Q h)))
39	35, 38	syl5eq 1136	. . 3 ⊢ ((((A ∈ P ∧ g ∈ A) ∧ (B ∈ P ∧ h ∈ B)) ∧ x ∈ Q) → (((x ·Q (*Q ‘(g +Q h))) ·Q g) +Q ((x ·Q (*Q ‘(g +Q h))) ·Q h)) = x)
40	39	eleq1d 1155	. 2 ⊢ ((((A ∈ P ∧ g ∈ A) ∧ (B ∈ P ∧ h ∈ B)) ∧ x ∈ Q) → ((((x ·Q (*Q ‘(g +Q h))) ·Q g) +Q ((x ·Q (*Q ‘(g +Q h))) ·Q h)) ∈ (A +P B) ↔ x ∈ (A +P B)))
41	22, 40	sylibd 177	1 ⊢ ((((A ∈ P ∧ g ∈ A) ∧ (B ∈ P ∧ h ∈ B)) ∧ x ∈ Q) → (x <Q (g +Q h) → x ∈ (A +P B)))

Syntax hints:   → wi 2   ∧ wa 196   = wceq 1091   ∈ wcel 1092   class class class wbr 2054   ‘cfv 2422  (class class class)co 3001  Qcnq 3773  1_Qc1q 3774   +_Q cplq 3775   ·_Q cmq 3776  *_Qcrq 3777   <_Q cltq 3778  Pcnp 3779   +_P cpp 3781

This theorem is referenced by:  addclpr 3914

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-plp 3882

metamath.org